Distribució de Laplace

En estadística i en teoria de la provabilitat la distribució de Laplace és una densitat de provabilitat contínua, cridada aixina en honor a Pierre-Simon Laplace. És també coneguda com a distribució doble exponencial posat que pot ser considerada com la relació les densitat de dos distribucions exponencials adjacents. La distribució de Laplace resulta de la diferència de dos variables exponencials aleatòries, independents i idénticamente distribuïdes.

Caracterisació

Densitat de provabilitat

Una variable aleatòria posseïx una distribució de Laplace(μ, b) si la seua densitat de provabilitat és

Sent μ un paràmetro de localisació i b > 0 un paràmetro d'escala. Si μ = 0 i b = 1, la distribució de Laplace es diu que és estàndar i la seua restricció als número real positius és la distribució exponencial de paràmetro 1/2.

La funció de densitat de provabilitat de la distribució de Laplace recorda la de la distribució normal, pero mentres la distribució normal s'expressa en térmens de la diferència al quadrat $(x-\mu {)}^2$, la distribució de Laplace fa intervindre la diferència absoluta $|x-\mu |$. Aixina la distribució de Laplace presenta coes més grosses que la distribució normal.

Funció de distribució acumulativa

l'integral de la distribució de Laplace s'obté en facilitat gràcies a l'us del valor absolut. El seu funció de distribució acumulativa és:

$F(x)$	$=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}f(u)\mathrm{d}u$
	$=\{\begin{array}{ccc}& \frac{1}{2}\exp (-\frac{\mu -x}{b})& \text{si }x<\mu \\ 1-& \frac{1}{2}\exp (-\frac{x-\mu }{b})& \text{si }x\ge \mu \end{array}$
	$=0.5[1+\mathrm{sgn}(x-\mu )(1-\exp (-|x-\mu |/b))].$

L'inversa de la funció de distribució acumulativa és:

Generació d'una variable aleatòria en la distribució de Laplace

Donada una variable aleatòria O, generada per una distribució uniforme contínua dins de l'interval (-1/2, 1/2], la variable aleatòria

presenta una distribució de Laplace de paràmetros μ i b. Açò resulta de l'inversa de la funció de distribució acumulativa i del método de la transformada inversa.

Una variable Laplace(0, b) pugues també generar-se com la diferència de dos variables exponencials, de paràmetros 1/b, independents. Aixina mateix, un distribució de Laplace(0, 1) pot obtindre's com el logaritme del cocient de dos variables uniformes independents.