Disseny de bloc

En matemàtica combinatòria, un disseny de bloc (o també disseny de blocs) és una estructura d'incidència que consta d'un conjunt i d'una família de subconjunts coneguts com a blocs, elegits de manera que la freqüència dels elements satisfaça certes condicions que fan que la colecció de blocs exhibixca simetria (estiga equilibrada). Els dissenys de blocs tenen aplicacions en moltes àrees, com el disseny experimental, la geometria finita, la fisicoquímica, la proves de software, la criptografia i la geometria algebraica.

Sense més especificacions, el terme dissenye de blocs generalment es referix a un disseny de blocs incomplet equilibrat (BIBD), específicament (i també com a sinònim) a un 2-disseny, que ha segut el tipo més intensament estudiat històricament per la seua aplicació en el disseny experimental. La seua generalisació es coneix com a t-dissenye.

Resum

Es diu que un disseny està equilibrat (fins a t) si tots els t-subconjunts del conjunt original apareixen en el mateix número de blocs (és dir, λ). Quan t no s'especifica, normalment es pot supondre que és 2, lo que significa que cada parell d'elements es troba en el mateix número de blocs i el disseny està equilibrat per parells. Per a t=1, cada element apareix en el mateix número de blocs (el número de replicació, denotat per r) i es diu que el disseny és regular. Qualsevol disseny equilibrat fins a t també està equilibrat en tots els valors inferiors de t (encara que en diferents valors de λ). Aixina, per eixemple, per a un disseny equilibrat per parells (t=2), el disseny també és regular (t=1). Quan el requisit d'equilibri falla, un disseny encara pot estar parcialment equilibrat si els t subconjunts es poden dividir en n classes, cada una en el seu propi valor λ (diferent). Per a t=2 estos es coneixen com a dissenys PBIBD(n), les classes de la qual formen un esquema d'associació.

Generalment es diu (o se supon) que els dissenys són incomplets, lo que significa que la colecció de blocs no són tots els k-subconjunts possibles, descartant aixina un disseny trivial.

Un disseny de blocs en el que tots els blocs tenen el mateix tamany (normalment denominat k) es denomina uniforme o adequat. Els dissenys discutits en este artícul són tots uniformes. També s'han estudiat dissenys de blocs que no necessàriament són uniformes; per a t=2 es coneixen en la bibliografia en el nom general dissenys equilibrats per parells (PBD).

Els dissenys de blocs poden tindre o no blocs repetits. Els dissenys sense blocs repetits es denominen simples, en el cas del qual la família de blocs és un conjunt en lloc d'un multiconjunto.

En estadística, el concepte de disseny de blocs pot estendre's a dissenys de blocs no binarios, en els que els blocs poden contindre múltiples còpies d'un element (vore bloquejat (estadística)). Allí, un disseny en el que cada element apareix el mateix número total de voltes es denomina equirreplicado, lo que implica un disseny regular solament quan el disseny també és binario. La matriu d'incidència d'un disseny no binario enumera el número de voltes que es repetix cada element en cada bloc.

Dissenys uniformes regulars (configuracions)

El tipo més simple de disseny "equilibrat" (t=1) es coneix com a configuració tàctica o disseny 1. l'estructura d'incidència corresponent en geometria es coneix simplement com a configuració, (vore configuració (geometria)). Este disseny és uniforme i regular: cada bloc conté k elements i cada element està contingut en r blocs. El número d'elements del conjunt v i el número de blocs b estan relacionats per $bk=vr$, que és el número total d'aparicions d'elements.

Cada matriu booleana en sumes de files i columnes constants és la matriu d'incidència d'un disseny de blocs uniforme regular. Ademés, cada configuració té un Grafo bipartito birregular corresponent, conegut com la seua incidència o grafo de Levi.

Vore també

• Geometria d'incidència
• Sistema de Steiner