Diferència entre dos número primo consecutius
| En este artícul s'utilisa la notació matemàtica tècnica per als logaritmos. Totes les instàncies de log(x) sense una base de subíndex deuen interpretar-se com un logaritmo natural, també escrit comunament com ln(x) o logi(x). |
Es definix la diferència entre dos número primo consecutius, o de forma més compacta, el espai entre cosins consecutius o el buit entre cosins consecutius, com la separació existent entre dos número primo successius. El n-ésimo espai entre cosins consecutius, denotat com a gn o g(pn), és la diferència entre el (n + 1)-ésimo i el n-ésimo número primo, és dir,
Es té que g1 = 1, g2 = g3 = 2 i g4 = 4. La successió sancera (gn) dels espais entre número primo consecutius ha segut àmpliament estudiada, encara que moltes qüestions i conjecturas en les que intervé seguixen sense resposta.
Els primers 60 espais entre cosins consecutius són:
- 1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14, 4, 6, 2, 10, 2, 6, 6, 4, 6, 6, 2, 10, 2, 4, 2, 12, 12, 4, 2, 4, 6, 2, 10, 6, 6, 6, 2, 6, 4, 2, ... Plantilla:OEIS.
Per la definició de gn, cada número primo pot escriure's com
Observacions simples
[editar | editar còdic]El primer, més chicotet i únic buit entre cosins impar és el buit de tamany 1 entre 2, l'únic número primo parell, i 3, el primer cosí impar. Tots els demés buits entre cosins són parells. Solament hi ha un parell de buits consecutius de llongitut 2: els buits g2 i g3 entre els cosins 3, 5 i 7.
Per a qualsevol número entero n, el factorial n! és el producte de tots els número entero positius fins a n inclusivament. Llavors, en la successió
el primer terme és divisible per 2, el segon terme és divisible per 3, i aixina successivament. Per lo tant, formen una successió de n − 1 número entero composts consecutius, i deu pertànyer a un espai entre cosins que tinga un valor d'a lo manco n. D'això es deduïx que hi ha buits entre cosins consecutius que són arbitrariamente grans, és dir, per a qualsevol número entero N, hi ha un número entero m tal que gm ≥ N.
No obstant, els buits entre cosins consecutius de valor n poden presentar-se en números molt més menuts que n!. Per eixemple, el primer espai entre cosins consecutius major que 14 apareix entre els cosins 523 i 541, mentres que 15! és un número molt més gran (1.307.674.368.000).
El buit promig entre cosins consecutius aumenta d'igual forma que el logaritmo natural d'estos cosins, i per lo tant la raó del buit entre cosins i els cosins involucrats disminuïx (i tendix asintóticamente a zero). Açò és una conseqüència del teorema dels número primo. Des d'un punt de vista heurístic, s'espera que la provabilitat de que la raó de la llongitut de l'espai sobre el logaritmo natural siga major o igual que un número positiu fix k siga i−k. En conseqüència, la raó pot ser arbitrariamente gran. De fet, la raó del buit sobre el número de dígits dels sancers involucrats aumenta sense llímit. Açò és una conseqüència d'un resultat de Westzynthius.[2]
En la direcció oposta, la conjectura dels número primo bessons postula que gn= 2 per a una cantitat infinita de sancers n.
Resultats numèrics
[editar | editar còdic]Normalment, la raó de es denomina mèrit de l'espai entre primers gn. De manera informal, el mèrit d'un espai entre primers gn pot considerar-se com la raó del tamany de l'espai entre cosins en comparació als tamanys promig dels espais primers en el veïnat de pn.
L'espai entre cosins més gran conegut en extrems cosins provables identificats té una llongitut de 16.045.848, en cosins provables de 385.713 dígits i mèrit M = 18.067, trobat per Andreas Höglund en març de 2024.[3] El major valor conegut d'un espai entre cosins en cosins provats com a extrems té un valor d'1.113.106 i un mèrit de 25,90, en cosins de 18.662 dígits trobats per P. Cami, M. Jansen i J. K. Andersen.[4][5]
És setembre de 2022, el major valor de mèrit conegut i el primer en mèrit superior a 40, segons lo descobert per la ret Gapcoin, és 41,93878373, en el cosí de 87 dígits. El valor de l'espai entre cosins entre est i el següent primer és 8350.[6][7]
| Mèrit | gn | Dígits | pn | Data | Descobridor |
|---|---|---|---|---|---|
| 41,938784 | Plantilla:08350 | Plantilla:087 | vore paràgraf anterior | 2017 | Gapcoin |
| 39,620154 | 15900 | Plantilla:0175 | 3483347771 × 409#/Plantilla:030 − 7016 | 2017 | Dana Jacobsen |
| 38,066960 | 18306 | Plantilla:0209 | Plantilla:0650094367 × 491#/2310 − 8936 | 2017 | Dana Jacobsen |
| 38,047893 | 35308 | Plantilla:0404 | Plantilla:0100054841 × 953#/Plantilla:0210 − 9670 | 2020 | Seth Troisi |
| 37,824126 | Plantilla:08382 | Plantilla:097 | Plantilla:0512950801 × 229#/5610 − 4138 | 2018 | Dana Jacobsen |
La raó de Cramér–Shanks–Granville és la raó de gn / (ln(pn))2.[6] Si es descartn els valors anómalamente alts de la raó per als cosins 2, 3, 7, llavors el major valor conegut d'esta raó és 0,9206386 per al primer 1693182318746371. Atres térmens del registre es poden trobar en Plantilla:OEIS2C.
Es diu que gn és un espai màxim, si gm < gn per a tot m < n. Des d'octubre de 2024, l'espai màxim entre cosins més gran conegut té una llongitut de 1676, i va ser trobat per Brian Kehrig. És el 83º espai màxim entre cosins consecutius, i es troba despuix del cosí 20733746510561442863.[11] Atres tamanys d'espai (màxims) de registre es poden trobar en Plantilla:OEIS2C, en els cosins corresponents pn en Plantilla:OEIS2C, i els valors de n en Plantilla:OEIS2C. Se supon que la successió d'espais màxims fins al primer té aproximadament térmens.[12]
|
|
|
Vore també
[editar | editar còdic]- [[Archiu:{{#switch:Matemàtica|20px|Vore el portal sobre Matemàtica]] Portal:Matemàtica. Contingut relacionat en Matemàtica.
- Desigualtat de Bonse
- Fos gaussiano
- Número primo bessó
Referències
[editar | editar còdic]- ↑ “Hidden structure in the randomness of the prime number sequence?” . Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications 360 (2): 285–296. doi:. Bibcode: 2006PhyA..360..285A.
- ↑ «Über die Verteilung der Zahlen die zu donen n ersten Primzahlen teilerfremd sind».Commentationes Physico-Mathematicae Helsingsfors.5
- 1–37..
- ↑ Tens que especificar urlarchiu = i fechaarchiu = al usar {{cita web}}.ATH. «Announcement at Mersenneforum.org». Archivat des d'el original, el 12 de març de 2024.
- ↑ Tens que especificar urlarchiu = i fechaarchiu = al usar {{cita web}}.«The Top-20 Prime Gaps». Archivat des d'el original, el 27 de decembre de 2019. Consultat el 13 de juny de 2014.
- ↑ Tens que especificar urlarchiu = i fechaarchiu = al usar {{cita web}}.Andersen, Jens Kruse. «A megagap with merit 25.9». Archivat des d'el original, el 25 de decembre de 2019. Consultat el 29 de setembre de 2022.
- ↑ 6,0 6,1 6,2 Tens que especificar urlarchiu = i fechaarchiu = al usar {{cita web}}.Nicely, Thomas R.. «NEW PRIME GAP OF MAXIMUM KNOWN MERIT». Archivat des d'el original, el 30 d'abril de 2021. Consultat el 29 de setembre de 2022.
- ↑ «Prime Gap Records».
- ↑ Tens que especificar urlarchiu = i fechaarchiu = al usar {{cita web}}.«Record prime gap info». Archivat des d'el original, el 13 d'octubre de 2016. Consultat el 29 de setembre de 2022.
- ↑ Tens que especificar urlarchiu = i fechaarchiu = al usar {{cita web}}.Nicely, Thomas R.. «TABLES OF PRIME GAPS». Archivat des d'el original, el 27 de novembre de 2020. Consultat el 29 de setembre de 2022.
- ↑ Tens que especificar urlarchiu = i fechaarchiu = al usar {{cita web}}.«Top 20 overall merits». Archivat des d'el original, el 27 de juliol de 2022. Consultat el 29 de setembre de 2022.
- ↑ Andersen, Jens Kruse. «Record prime gaps». Consultat el 10 d'octubre de 2024.
- ↑ “On the first occurrences of gaps between primes in a residue class” . Journal of Integer Sequences 23 (Article 20.9.3).
Bibliografia
[editar | editar còdic]- Guy, Richard K. (2004). Unsolved problems in number theory, 3rd edició, Springer Science+Business Mija. ISBN 978-0-387-20860-2.
Referències
[editar | editar còdic]
- Este artícul conté una traducció derivada de «Diferencia entre dos números primos consecutivos» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.