Cuadrifuerza

En la teoria de la relativitat, la cuadrifuerza és un cuadrivector que reemplaça la força clàssica. Com l'espai-temps té quatre dimensions, la cuadrifuerza té quatre components, una component temporal relacionada en la potència i tres components espacials.

En la relativitat especial

La cuadrifuerza es definix com la raó de canvi del cuadrimomento d'una partícula sobre la seua temps propi:

$𝐅=\frac{\mathrm{d}𝐏}{\mathrm{d}\tau }$.

Per a una partícula de massa invariante constant en $m>0$, $𝐏=m𝐔$ a on $𝐔=\gamma (c,𝐮)$ és la cuadrivelocidad, per lo que podem relacionar la cuadrifuerza en la cuadriaceleración $𝐀$ en la segona llei de Newton:

$𝐅=m𝐀=(\gamma \frac{𝐟\cdot 𝐮}{c},\gamma 𝐟)$.

Ací,

$𝐟=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\gamma m𝐮\right)=\frac{\mathrm{d}𝐩}{\mathrm{d}t}$

i

$𝐟\cdot 𝐮=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\gamma m{c}^2\right)=\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}$,

a on $𝐮$, $𝐩$ i $𝐟$ són vectorés tridimensionalés que descriuen la velocitat, la cantitat de moviment de la partícula i la força actuant sobre ella, respectivament.

En la relativitat general

En la relativitat general, la relació entre la cuadrifuerza i la cuadriaceleración seguix sent la mateixa, pero els elements de les quatre forces estan relacionats en els elements del cuadrimomento a través d'una derivada covariant sobre el temps propi:

$F^{\lambda }:=\frac{D{P}^{\lambda }}{d\tau }=({\mathrm{\nabla }}_{\mu }{P}^{\lambda })U^{\mu }=\frac{d{P}^{\lambda }}{d\tau }+{\Gamma }^{\lambda }{}_{\mu \nu }{U}^{\mu }{P}^{\nu }$

Ademés, podem formular la força usant el concepte de transformació de coordenades entre diferents sistemes de coordenades. Supongam que coneixem l'expressió correcta per a la força en un sistema de coordenades en el que la partícula està momentàneament en repòs. Després podem realisar una transformació a un atre sistema per a obtindre l'expressió corresponent de força. En la relativitat especial la transformació serà una transformació de Lorentz entre sistemes de coordenades que es mouen en una velocitat constant relativa, mentres que en la relativitat general serà una transformació de coordenades generals.

Considere's la cuadrifuerza $F^{\mu }=(F^0,𝐅)$ que actua sobre una partícula de massa $m$ i que està momentàneament en repòs en un sistema de coordenades. La força relativista $f^{\mu }$ en un atre sistema de coordenades que es mou en velocitat constant $v$, en relació en l'atre, s'obté usant una transformació de Lorentz:

a on $f^0=\gamma 𝜷\cdot 𝐅=𝜷\cdot 𝐟.$ i $𝜷=𝐯/c$.

En relativitat general, per tant, l'expressió de la força acaba sent:{{equació|$f^{\mu }=m\frac{D{U}^{\mu }}{d\tau }$ a on $D/d\tau$ prové de la derivada covariant. En eixes condicions l'equació del moviment resulta ser:

a on ${\Gamma }_{\nu \lambda }^{\mu }$ són els símbols de Christoffel. Si no hi ha força externa, açò es convertix en l'equació per a la geodèsica en l'espai-temps curve. El segon terme en l'equació anterior, juga el paper d'una força gravitacional. Si $f_f^{\alpha }$ és l'expressió correcta per a la força en un marc que cau lliurement ${\xi }^{\alpha }$, podem usar llavors el principi d'equivalència per a escriure les quatre forces en una coordenada arbitrària $x^{\mu }$: $f^{\mu }=\frac{\partial x^{\mu }}{\partial {\xi }^{\alpha }}{f}_f^{\alpha }.$