Coordenades cilíndriques parabòliques

Superfícies coordinades de les coordenades cilíndriques parabòliques. El cilindre parabòlic roig correspon a σ = 2, mentres el cilindre parabòlic groc correspon a τ = 1. El pla azul correspon la z= 2. Estes la seuaperficies es creuen al punt P (mostrat com una esfera negra), que les seues coordenades cartesianas són aproximadament (2, -1,5, 2).

En matemàtiques, les coordenades cilíndriques parabòliques són un sistema de coordenades ortogonals tridimensionals que resulten de la proyecció del sistema de coordenades parabòliques bidimensional en la direcció perpendicular a $z$. Aixina, les superfícies coordenades són cilindres parabòlics confocales. Les coordenades cilíndriques parabòliques posseïxen incontables aplicacions com, per eixemple, en la teoria potencial de les arestes.

Definició bàsica

Sistema de coordenades parabòliques mostrant les curves en σ i τ constants. Els eixos horisontal i vertical són les coordenades x i i, respectivament. Tals coordenades són proyectades al llarc de l'eix z, i aixina este diagrama entanque per a qualsevol valor de la coordenada z

Les coordenades cilíndriques parabòliques (σ, τ, z) són definides en térmens de les coordenades cartesianas (x, i, z) per:

$\begin{array}{cc}x& =\sigma \tau \\ y& =\frac{1}{2}({\tau }^2-{\sigma }^2)\\ z& =z\end{array}$

Les superfícies en la constant σ formen cilindres parabòlics confocales d'equacions

$2y=\frac{x^2}{{\sigma }^2}-{\sigma }^2$

en concavidad regrés per a la direcció +i, mentres que les superfícies en constant τ formen cilindres parabòlics confocales d'equacions

$2y=-\frac{x^2}{{\tau }^2}+{\tau }^2$

en concavidad regrés per a la direcció oposta, és dir, en la direcció −i. Els focs de tots estos cilindres parabòlics estan localisats al llarc de la recta definida per x = i = 0. El rayo r té una equació simple, a saber,

$r=\sqrt{x^2+y^2}=\frac{1}{2}({\sigma }^2+{\tau }^2)$

que és útil en la resolució de l'equació d'Hamilton-Jacobi en coordenades parabòliques per al problema de la força central inversa al quadrat de la distància, de la mecànica. Per a més detalls, vore l'artícul vector de Laplace-Runge-Lenz.

Factors d'escala

Els factors d'escala per a les coordenades cilíndriques parabòliques σ i τ són:

$\begin{array}{cc}{h}_{\sigma }& =h_{\tau }=\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}\\ h_z& =1\end{array}$

Vore també

• Coordenades ortogonals
• Coordenades cartesianas
• Coordenades polars
• Coordenades parabòliques
• Coordenades bipolars
• Coordenades hiperbòliques
• Coordenades elíptiques
• Coordenades cilíndriques
• Coordenades esfèriques

Referències

• Este artícul va ser inicialment traduït de l'artícul de la Wikipédia en anglés, el títul del qual és Parabolic cylindrical coordinates, específicament d'esta versió.

Bibliografia

• Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I, New York: McGraw-Hill, p. 658. ISBN 0-07-043316-X.
• Margenau H, Murphy GM (1956). The Mathematics of Physics and Chemistry, New York: D. van Nostrand, pp. 186-187., Murphy GM (1956)
• Korn GA, Korn TM (1961). Korn GA, Korn TM (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, New York: McGraw-Hill, p. 181.

• Sauer R, Szabó I (1967). Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel dones Ingenieurs, New York: Springer Verlag, p. 96.
• Zwillinger D (1992). Zwillinger D (1992). Handbook of Integration, Boston, MA: Jones and Bartlett, p. 114. ISBN 0-86720-293-9. Same les Morse & Feshbach (1953), substituting uk siga ξk.
• Moon P, Spencer DE (1988). Moon P, Spencer DE (1988). «Parabolic-Cylinder Coordinates (μ, ν, z)», Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions, corrected 2nd ed., 3rd print ed. edició, New York: Springer-Verlag, pp. 21-24 (Table 1.04). ISBN 978-0387184302.