Coordenades parabòliques

Archiu:Parabolic coords.svg

Coordenades parabòliques (en roig i vert) i cartesianas (blau clar)

Les coordenades parabòliques són un sistema de coordenades ortogonals bidimensionales en el que les llínees de coordenades són paràboles confocales.

Una versió tridimensional de les coordenades parabòliques, denominat coordenades cilíndriques parabòliques, s'obté per mig de la rotació del sistema bidimensional sobre l'eix de simetria de les paràboles.

Les coordenades parabòliques posseïxen numeroses aplicacions, com per eixemple, el tractament del efecte Stark i la teoria del potencial.

Coordenades parabòliques bidimensionales

Les coordenades parabòliques bidimensionales per a $(\sigma ,\tau )$ es definixen per les equacions:

$x=\sigma \tau$

$y=\frac{1}{2}({\tau }^2-{\sigma }^2)$

Les curves en $\sigma$ constant formen paràboles confocales

$2y=\frac{x^2}{{\sigma }^2}-{\sigma }^2$

obertes cap a dalt (en sentit $+y$), mentres que les curves en $\tau$ constant formen paràboles confocales

$2y=-\frac{x^2}{{\tau }^2}+{\tau }^2$

obertes cap a avall (en sentit $-y$). Els focs de totes les paràboles s'ubiquen en l'orige.

Factors d'escala bidimensionales

Els factors d'escala de les coordenades parabòliques $(\sigma ,\tau )$ equivalen a:

$h_{\sigma }=h_{\tau }=\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}$

Per a un element infinitesimal d'àrea és

$dA=({\sigma }^2+{\tau }^2)d\sigma d\tau$

i el seu Laplaciano és:

${\mathrm{\nabla }}^2\Phi =\frac{1}{{\sigma }^2+{\tau }^2}(\frac{{\partial }^2\Phi }{\partial {\sigma }^2}+\frac{{\partial }^2\Phi }{\partial {\tau }^2})$

Atres operadors diferencials tals com $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$ i $\mathrm{\nabla }\times 𝐅$ poden expressar-se per a coordenades (σ, τ) substituyendo els factors d'escala en les fòrmules generals trobats en les coordenades ortogonals.

Vore també

• Coordenades cilíndriques parabòliques
• Sistema de coordenada ortogonal
• Coordenades curvilíneas

Bibliografia

• Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I, New York: McGraw-Hill, pp. 660. ISBN 0-07-043316-X.
• Margenau H, Murphy GM (1956). The Mathematics of Physics and Chemistry, New York: D. van Nostrand, pp. 185–186.
• Korn GA, Korn TM (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, New York: McGraw-Hill, pp. 180.
• Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel dones Ingenieurs, New York: Springer Verlag, pp. 96.
• Zwillinger D (1992). Handbook of Integration, Boston, MA: Jones and Bartlett, pp. 114. ISBN 0-86720-293-9. Mateix quan Morse & Feshbach (1953), substituint uk per a ξk.
• Moon P, Spencer DE (1988). «Parabolic Coordinates (μ, ν, ψ)», Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions, corrected 2nd ed., 3rd print edició, New York: Springer-Verlag, pp. 34–36 (Table 1.08). ISBN 978-0-387-18430-2.