Conservació de la càrrega elèctrica

En física, la conservació de la càrrega elèctrica és el principi, de caràcter experimental, segons el qual la càrrega elèctrica total d'un sistema aïllat mai varia. La cantitat neta de càrrega elèctrica, és dir, la cantitat de càrrega positiva menys la cantitat de carrega negativa en l'univers, sempre es conserva. La conservació de la càrrega, considerada com una de les Lleis de conservació (física), implica que el canvi en la cantitat de càrrega elèctrica en qualsevol volum d'espai és exactament igual a la cantitat de càrrega que entra en el volum menys la cantitat de càrrega que ix del volum. En essència, la conservació de la càrrega és una relació contable entre la cantitat de càrrega en una regió i el fluix de càrrega que entra i ix d'eixa regió, donada per una equació de continuïtat entre la densitat de càrrega $\rho (𝐱)$ i la densitat de corrent $𝐉(𝐱)$.

Açò no significa que no es puguen crear o destruir càrregues positives i negatives individuals. La càrrega elèctrica és transportada per partícules subatòmiques com els electrons i els protones. Les partícules carregades poden crear-se i destruir-se en reaccions de partícules elementals. En física de partícules, la conservació de la càrrega significa que, en les reaccions que creen partícules carregades, sempre es crea un número igual de partícules positives i negatives, lo que manté inalterada la cantitat neta de càrrega. De la mateixa manera, quan es destruïxen partícules, es destruïx un número igual de càrregues positives i negatives. Esta propietat està respalada sense excepció per totes les observacions empíriques realisades fins a la data.

Encara que la conservació de la càrrega requerix que la cantitat total de càrrega en l'univers siga constant, deixa oberta la qüestió de quin és eixa cantitat. La majoria de les proves indiquen que la càrrega neta en l'univers és zero; és dir, hi ha cantitats iguals de càrrega positiva i negativa.

Història

La conservació de la càrrega va ser proposta per primera volta pel científic britànic William Watson en 1746 i per l'estadiste i científic nortamericà Benjamin Franklin en 1747, encara que la primera prova convincent la va aportar Michael Faraday en 1843.

Enunciat formal de la llei

Plantilla:Vore també Matemàticament, podem expressar la llei de conservació de la càrrega com una equació de continuïtat: $$\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}={\dot{Q}}_{\mathrm{I}\mathrm{N}}(t)-{\dot{Q}}_{\mathrm{O}\mathrm{U}\mathrm{T}}(t).$$ a on $\mathrm{d}Q/\mathrm{d}t$ és la taxa d'acumulació de càrrega elèctrica en un volum específic en l'instant t, ${\dot{Q}}_{\mathrm{I}\mathrm{N}}$ és la cantitat de càrrega que fluïx cap al volum i ${\dot{Q}}_{\mathrm{O}\mathrm{U}\mathrm{T}}$ és la cantitat de càrrega que fluïx fòra del volum; abdós cantitats es consideren funcions genèriques del temps.

L'equació de continuïtat integrada entre dos valors de temps s'expressa aixina: $$Q(t_2)=Q(t_1)+\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}({\dot{Q}}_{\mathrm{I}\mathrm{N}}(t)-{\dot{Q}}_{\mathrm{O}\mathrm{U}\mathrm{T}}(t))\mathrm{d}t.$$

La solució general s'obté fixant la condició inicial de temps $t_0$, lo que dona lloc a l'equació integral: $$Q(t)=Q(t_0)+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}({\dot{Q}}_{\mathrm{I}\mathrm{N}}(\tau )-{\dot{Q}}_{\mathrm{O}\mathrm{U}\mathrm{T}}(\tau ))\mathrm{d}\tau .$$

La condició $Q(t)=Q(t_0)\mathrm{\forall }t>t_0,$ correspon a l'absència de variació de la cantitat de càrrega en el volum de control: el sistema ha alcançat un estat estacionario. A partir de la condició anterior, deu complir-se lo següent: $$\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}({\dot{Q}}_{\mathrm{I}\mathrm{N}}(\tau )-{\dot{Q}}_{\mathrm{O}\mathrm{U}\mathrm{T}}(\tau ))\mathrm{d}\tau =0\mathrm{\forall }t>t_0⟹{\dot{Q}}_{\mathrm{I}\mathrm{N}}(t)={\dot{Q}}_{\mathrm{O}\mathrm{U}\mathrm{T}}(t)\mathrm{\forall }t>t_0$$ per lo tant, ${\dot{Q}}_{\mathrm{I}\mathrm{N}}$ i ${\dot{Q}}_{\mathrm{O}\mathrm{U}\mathrm{T}}$ són iguals (no necessàriament constants) a lo llarc del temps, llavors la càrrega total dins del volum de control no canvia. Esta deducció podria derivar-se directament de l'equació de continuïtat, ya que en estat estacionario $\partial Q/\partial t=0$ es complix, i implica ${\dot{Q}}_{\mathrm{I}\mathrm{N}}(t)={\dot{Q}}_{\mathrm{O}\mathrm{U}\mathrm{T}}(t)$.

En la teoria del camp electromagnètic, es pot utilisar el càlcul vectorial per a expressar la llei en térmens de densitat de càrrega ρ (en coulombios per metro cúbic) i densitat de corrent elèctrica J (en amperis per metro quadrat). Açò es denomina equació de continuïtat de la densitat de càrrega $$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐉=0.$$

El terme de l'esquerra és la taxa de variació de la densitat de càrrega ρ en un punt. El terme de la dreta és la divergència de la densitat de corrent J en el mateix punt. L'equació iguala estos dos factors, lo que significa que l'única forma de que la densitat de càrrega en un punt canvie és que una corrent de càrrega fluïxca cap a o des d'eixe punt. Esta afirmació és equivalent a una conservació de la corrent cuádruple.

Derivació matemàtica

La corrent neta «cap a l'interior» d'un volum és $$I=-\underset{S}{\iint }𝐉\cdot d𝐒$$ a on S = ∂V és el contorn de V orientat per normals que apunten cap a fòra, i d S és una abreviatura de N dS, la normal que apunta cap a fòra del contorn V. Ací J és la densitat de corrent (càrrega per unitat d'àrea per unitat de temps) en la superfície del volum. El vector apunta en la direcció de la corrent.

A partir del Teorema de la divergència, açò es pot escriure com $$I=-\underset{V}{\iiint }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐉)dV$$

La conservació de la càrrega exigix que la corrent neta que entra en un volum siga necessàriament igual al canvi net de càrrega dins del volum. Plantilla:NumBlk La càrrega total q en el volum V és l'integral (suma) de la densitat de càrrega en V $$q=\underset{V}{\iiint }\rho dV$$ Per lo tant, segons la regla d'integració de Leibniz Plantilla:NumBlk Igualant (Plantilla:EquationNote) i (Plantilla:EquationNote) s'obté $$0=\underset{V}{\iiint }(\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐉)dV.$$ Ya que açò és vàlit per a qualsevol volum, tenim en general $$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐉=0.$$

Derivació a partir de les lleis de Maxwell

La invariancia de la càrrega pot derivar-se com un corolari de les equacions de Maxwell. El costat esquerre de la llei de Ampère modificada té divergència nula per l'identitat divergència-rotacional. Desenrollant la divergència del costat dret, intercanviant derivades i aplicant la llei de Gauss s'obté:$$0=\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐁)=\mathrm{\nabla }\cdot \left({\mu }_0(𝐉+{\epsilon }_0\frac{\partial 𝐄}{\partial t})\right)={\mu }_0(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐉+{\epsilon }_0\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄)={\mu }_0(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐉+\frac{\partial \rho }{\partial t})$$és dir,$$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐉=0.$$Segons la teorema de la divergència de Gauss, açò significa que la taxa de variació de la càrrega en un volum fix és igual a la corrent neta que fluïx a través de la frontera:

Plantilla:Oiint

En particular, en un sistema aïllat es conserva la càrrega total.

Vore també

• Capacitancia
• Invarianza de càrrega
• Lleis de conservació i simetria
• Introducció a la teoria de gauge – inclou un anàlisis més detallat de la invariancia de gauge i la conservació de la càrrega
• Lleis de Kirchhoff – aplicació de la conservació de la càrrega als circuits elèctrics
• Equacions de Maxwell
• Densitat de càrrega relativa
• Màquina electrostàtica de Franklin