Conjectura de Polignac

En teoria de números, Alphonse de Polignac va formular la denominada conjectura de Polignac en 1849, que s'expressa de la forma següent:

Per a qualsevol número par n positiu, hi ha infinites diferències entre número primo consecutius de tamany n. En atres paraules: hi ha infinits casos de dos número primo consecutius la diferència dels quals és n.

Alvanços posteriors

Encara que la conjectura encara no s'ha provat ni refutado per a cap valor donat de n, en 2013 Yitang Zhang va fer un alvanç important en demostrar que hi ha infinites diferències entre dos número primo consecutius de tamany n per a algun valor de n < 70.000.000. Més vesprada eixe any, James Maynard va anunciar un alvanç relacionat, per mig del que va demostrar que hi ha una cantitat infinita d'espais entre número primo d'algun tamany inferior o igual a 600. A partir del 14 d'abril de 2014, un any despuix de l'anunci de Zhang, segons el Polymath project wiki, n s'ha reduït a 246. Ademés, assumint la conjectura de Elliott–Halberstam i la seua forma generalisada, el proyecte Polymath establix que n s'ha reduït a 12 i 6, respectivament.

Per a n = 2, la conjectura fa referència als número primo bessons. Per a n = 4, diu que hi ha infinits número primo primers (p, p + 4). Per a n = 6, diu que hi ha infinits número primo sexis (p, p + 6) sense número primo entre p i p + 6.

La conjectura de Dickson generalisa la conjectura de Polignac per a cobrir totes les constelacions principals.

En 2022 el matemàtic espanyol José Alfonso López Nicolás va descobrir una relació entre la conjectura de Polignac i la conjectura de Goldbach.

Densitat conjeturada

Siga ${\pi }_n(x)$ per a n parell el número de buits primers de tamany n per baix de x.

Per a n=2, els número primo bessons, es té que la seua densitat asintòtica és de la forma

${\pi }_n(x)\sim 2C_n\frac{x}{(\ln x{)}^2}\sim 2C_n\underset{2}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{(\ln t{)}^2}$

a on C_n és una funció de n, i $\sim$ significa que el cocient de dos expressions que tendix a 1 quan x tendix a infinit.

C₂ és la constant primera bessona

$C_2=\prod _{p\ge 3}\frac{p(p-2)}{(p-1{)}^2}\approx 0.660161815846869573927812110014\dots$

a on el producte s'estén sobre tots els número primo p ≥ 3.

C_n és C₂ multiplicat per un número que depén dels factors primers impars q de n:

$C_n=C_2\prod _{q|n}\frac{q-1}{q-2}.$

Per eixemple, C₄ = C₂ i C₆ = 2C₂. Els primers bessons tenen la mateixa densitat conjeturada que els cosins primers i la mitat que els cosins sexis.

Tinga's en conte que cada factor primer impar q de n aumenta la densitat conjeturada en comparació als primers bessons per un factor de $\frac{q-1}{q-2}$.

A continuació s'introduïx un argument heurístic. Es basa en algunes suposicions no provades, per lo que la conclusió seguix sent una conjectura. La provabilitat de que un cosí impar aleatori q dividixca a a o a + 2 en un parell de primers bessons aleatoris "potencials" és $\frac{2}{q}$, ya que q dividix a un dels q números de a a a + q − 1. Ara suponga's que q dividix a n i considere un parell primer potencial (a, a + n). q dividix a a + n si i solament si q dividix a a, i la provabilitat de que això ocórrega és $\frac{1}{q}$. La provabilitat de que (a, a + n) estiga lliure del factor q, dividida per la provabilitat de que (a , a + 2) està lliure de q, després es convertix en $\frac{q-1}{q}$ dividit per $\frac{q-2}{q}$. Açò és igual a $\frac{q-1}{q-2}$ que es transferix a la densitat primera conjeturada. En el cas de n = 6, l'argument se simplifica a: Si a és un número aleatori, llavors 3 té 2/3 de provabilitat de dividir a o a + 2, pero solament 1/3 de provabilitat de dividir a i a + 6, per lo que es conjectura que l'últim parell té el doble de provabilitats de ser primers.

Bibliografia

• Alphonse de Polignac, Recherches nouvelles sur els nomenes premiers. Comptes Rendus dones Séances de l'Académie dones Sciences (1849)