Base de Gröbner

En matemàtiques, i més específicament en àlgebra computacional, geometria algebraica computacional i àlgebra conmutativa computacional, una base de Gröbner és un tipo particular de conjunt generador d'un ideal en un anelle polinominal $𝕂[x_1,\dots ,x_n]$ sobre un cos $𝕂$. Una base de Gröbner permet deduir fàcilment moltes propietats importants de l'ideal i de la varietat algebraica associada, com la dimensió i el número de zeros quan és finito. El càlcul de bases de Gröbner és una de les principals ferramentes pràctiques per a resoldre sistemes d'equacions polinòmiques i calcular imàgens de varietats algebraiques baix proyeccions o funcions racionals.

El càlcul de la base de Gröbner pot vore's com una generalisació multivariante no llineal del algoritme de Euclides per a calcular el màxim comú divisor polinomial i de l'eliminació de Gauss per a sistemes llineals.

Les bases de Gröbner es varen introduir en 1965, junt en un algoritme per a calcular-les (algoritme de Buchberger), per Bruno Buchberger en el seu Ph.D. tesis. Els va posar el nom del seu assessor Wolfgang Gröbner. En 2007, Buchberger va rebre el Premi de Teoria i Pràctica Kanellakis de París de l'Associació de Maquinària de Computació per este treball. No obstant, el matemàtic rus Nikolai Günther havia introduït una noció similar en 1913, publicada en vàries revistes matemàtiques russes. Estos documents varen ser ignorats en gran mida per la comunitat matemàtica fins a la seua redescubrimiento en 1987 per Bodo Renschuch et al. Heisuke Hironaka va desenrollar de forma independent un concepte anàlec per a séries de potències multivariadas en 1964, qui les va denominar bases estàndar. Este terme ha segut utilisat per alguns autors per a referir-se també a les bases de Gröbner.

La teoria de les bases de Gröbner ha segut estesa per molts autors en vàries direccions. S'ha generalisat a atres estructures com a anells de polinomis sobre DIPs, i també a algunes classes d'anells i àlgebra no conmutativas, com les àlgebra d'Ore.

Definició

Donat un anell de polinomis $𝕂[X]=𝕂[x_1,\dots ,x_n]$ sobre un cos $𝕂,$ i fixat un orde admissible '$\le$' (açò és, un bon orde en el conjunt dels monomis mónicos que respecta productes), una base de Gröbner per a un ideal $I\le 𝕂[X]$ con respecto de l'orde monomial $\le$ és un conjunt finito $G=\{g_1,\dots ,g_s\}\subseteq 𝕂[X]$ que genera l'ideal $I$ de tal manera que:

per a tot $f\in I$ en monomi líder $X^{\alpha }$ existix $g_i\in G$ en monomi líder $X^{\beta }$ divisor de $X^{\alpha }.$

L'última condició equival a que $\alpha =\beta +\gamma$ per a cert $\gamma \in {\mathbb{N}}^n;$ l'orde monomial s'usa per a decidir quin és el monomi líder.

Per a qualsevol elecció d'anell de polinomis i orde monomial, i per a qualsevol subconjunt finito de polinomis, sempre es pot calcular una base de Gröbner per a l'ideal que genera dit conjunt per mig del algoritme de Buchberger. Note's que, en esta definició, tot conjunt de polinomis que continga a $G$ i estiga contingut en $I$ és també una base de Gröbner. Per a que existixca unicitat s'usen bases especials anomenades bases de Gröbner reduïdes. Com qualssevol dos bases reduïdes per a un ideal —en un orde monoial fix— són iguals, açò dona un algoritme efectiu per a determinar si dos conjunts finitos de polinomis generen el mateix ideal (és dir, si dos sistemes d'equacions algebraiques són equivalents).