Asociaedro

Asociaedro

Asociaedro K₅ (part davantera)

Asociaedro K₅ (part atrassera)

K₅ és el diagrama de Hasse del retícul de Tamari T₄

Les 9 cares del asociaedro K₅.
Cada vèrtiç en el diagrama de Hasse anterior té els óvals de les 3 cares adjacents. Les cares els óvals de les quals es creuen no es toquen

En matemàtiques, un asociaedro K_n és un politopo convexo (n-2)-dimensional en el que cada vèrtiç correspon a una forma d'insertar correctament l'obertura i el tancament d'un conjunt de paréntesis en una cadena de n lletres, i les arestes corresponen a una aplicació única de la propietat associativa. De manera equivalent, els vèrtiços d'un asociaedro corresponen a les triangulacions d'un polígon regular en n + 1 arestes, i les arestes corresponen a canvis d'aresta en els que s'elimina una única diagonal d'una triangulació i es reemplaça per una diagonal diferent. Els asociaedros també es denominen politopos de Stasheff en honor al treball de Jim Stasheff, qui els redescubrió a principis de la década de 1960 en posterioritat a un treball anterior sobre el tema de Dov Tamari.

Eixemples

El asociaedro unidimensional K₃ representa els dos nivells de paréntesis ((xy)z) i (x(yz)) de tres símbols, o les dos triangulacions d'un quadrat. És en sí mateixa un segment de llínea recta.

El asociaedro bidimensional K₄ representa els cinc nivells de paréntesis de quatre símbols, o les cinc triangulacions d'un pentàgon regular. És en sí mateixa un pentàgon i està relacionat en el diagrama pentagonal d'una categoria monoidal.

El asociaedro tridimensional K₅ és un eneaedro en nou cares (tres quadrilàters disjuntos i sis pentàgons) i catorze vèrtiços, i el seu dual és el prisma triangular triaumentado.

Realisació

Inicialment Jim Stasheff va considerar estos objectes com politopos curvilíneos. Posteriorment, se'ls varen donar coordenades com politopos convexos de vàries maneres diferents (vore l'introducció sobre el tema de Ceballos, Sants y Ziegler (2015)).

Un método per a realisar un asociaedro és com un politopo secundari d'un polígon regular. En esta construcció, cada triangulació d'un polígon regular en n + 1 costats correspon a un punt en l'espai euclídeo (n + 1)-dimensional, la i del qual-ésima coordenada és l'àrea total dels triànguls incidents en el i-ésimo vèrtiç del polígon. Per eixemple, les dos triangulacions del quadrat unitat donen lloc d'esta manera a dos punts de quatre dimensions en coordenades (1, 1/2, 1, 1/2) i (1/2, 1 , 1/2, 1). l'envolvente convexa d'estos dos punts és la realisació del asociaedro K₃. Encara que està definit en un espai de 4 dimensions, forma un segment de recta (un politopo de dimensió 1) dins d'eixe espai. De manera similar, el asociaedro K₄ es pot realisar d'esta manera com un pentàgon en un espai euclídeo de cinc dimensions, les coordenades de les quals de vèrtiç són les permutació cíclicas del vector (1, 2 + f, 1 , 1 + f, 1 + f), a on f denota el número áureo. Degut a que els possibles triànguls dins d'un hexàgon tenen àrees que són múltiples sancers entre sí, esta construcció es pot utilisar per a donar coordenades sanceres (en sis dimensions) al asociaedro tridimensional K₅. No obstant (com ya mostra l'eixemple de K₄) esta construcció en general conduïx a número irracional com a coordenades.

Una atra realisació, deguda a Jean-Louis Loday, es basa en la correspondència dels vèrtiços del asociaedro en un arbre binario de n fulls, i produïx directament coordenades sanceres en un espai de (n − 2) dimensions. La coordenada i de la realisació de Loday és a_ib_i, a on a_i és el número de fulls descendents del fill esquerre del nodo intern i de l'arbre (en orde d'esquerra a dreta) i b_i és el número de descendents de fulls del fill dret.

És possible realisar el asociaedro directament en l'espai (n − 2)-dimensional com un politopo per al qual tots els vectores normals a cares tenen coordenades que són 0, +1 o −1. Hi ha exponencialment moltes formes combinatoriamente distintes de fer açò.

Degut a que K₅ és un poliedre en vèrtiços en els que es junten 3 arestes exclusivament, és possible que existixca un hidrocarbur (similar als hidrocarburs platònics) l'estructura química dels quals està representada per l'esquelet de K₅. Este "asociaedrano" C₁₄H₁₄ tindria la notació SMILES: C12-C3-C4-C1-C5-C6-C2-C7-C3-C8-C4-C5-C6-C78. Les seues arestes tindrien aproximadament la mateixa llongitut, pero els vèrtiços de cada cara no serien necessàriament coplanares.

De fet, K₅ és un sòlit casi coincidente de Johnson: sembla que podria construir-se a partir de quadrats i pentàgons regulars, pero no ho és. O els vèrtiços no seran del tot coplanares o les cares tindran que distorsionar-se llaugerament alluntant-se de la regularitat.

Vore també

• Cicloedro, un politopo la definició del qual permet que els paréntesis s'ajusten en orde cíclico.
• Grafo de Flip, una generalisació del 1-skeleton del asociaedro.
• Permutoedro, un politopo que es definix a partir de conmutatividad de forma similar a la definició del asociaedro a partir de la asociatividad.
• Permutoasociaedro, un politopo els vèrtiços del qual són permutació entre corchetes.
• Retícul de Tamari, un retícul que el seu grafo és l'esquelet d'un asociaedro.