Estadística direccional

L'estadística direccional (també estadística circular o estadística esfèrica) és la subdisciplina de l'estadística que s'ocupa de les direccions (els vectores unitaris en l'espai euclídeo, Rⁿ ), eixos (rectes des de l'orige en Rⁿ) o al moviment de rotació en Rⁿ. De manera més general, les estadístiques direccionals s'ocupen d'observacions sobre varietats de Riemann compactes, inclosa la varietat de Stiefel.

La forma general d'una proteïna es pot parametrizar com una seqüència de punts en l'esfera unitat. Es mostren dos vistes del histograma esfèric de dits punts per a una gran colecció d'estructures de proteïnes. El tractament estadístic de dits senyes pertany a l'àmbit de les estadístiques direccionals

El fet de que 0 graus i 360 graus siguen ànguls idèntics, de modo que, per eixemple, 180 graus no siga una mija coherent per a 2 graus i 358 graus, ilustra que es requerixen métodos estadístics especials per a l'anàlisis d'alguns tipos de senyes (en este cas case, senyes angulars). Atres eixemples de senyes que poden considerar-se direccionals inclouen estadístiques que involucren periodos temporals (per eixemple, hores del dia, semanes, mesos o anys), direccions de la brúixola, ànguls diedros en molècules, orientacions o rotacions entre uns atres.

Distribucions circulares

Artícul principal → Distribució circular.

Qualsevol funció de densitat de provabilitat (FDP) $p(x)$ en la recta real pot ser "envolta" al voltant de la circumferència d'un círcul de radi unitari. És dir, la FDP de la variable envolta

$\theta =x_w=xmod2\pi \in (-\pi ,\pi ]$

és

$p_w(\theta )=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}p(\theta +2\pi k).$

Este concepte es pot estendre al context multivariado per mig d'una extensió de la suma simple a una cantitat de sumes $F$ que cobrixen totes les dimensions en l'espai de característiques:

$p_w(𝜽)=\sum _{k_1=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\cdots \sum _{k_F=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}p(𝜽+2\pi k_1{𝐞}_1+\dots +2\pi k_F{𝐞}_F)$

a on ${𝐞}_k=(0,\dots ,0,1,0,\dots ,0{)}^{𝖳}$ és el $k$-ésimo vector d'una base euclídea.

Les següents seccions mostren algunes distribucions circulares rellevants.

Distribució circular de von Mises

Artícul principal → Distribució de von Mises.

La distribució de von Mises és una distribució circular que, com qualsevol atra distribució circular, pot considerar-se com una envoltura d'una determinada distribució de provabilitat llineal al voltant d'una circumferència. La distribució de provabilitat llineal subjacent per a la distribució de von Mises és matemàticament intractable; no obstant, per a fins estadístics, no és necessari abordar la distribució llineal subjacent. L'utilitat de la distribució de von Mises és doble: és la més manejable matemàticament de totes les distribucions circulares, lo que permet un anàlisis estadístic més simple, i és una aproximació propenca a la distribució normal envolta, que, de manera anàloga a la distribució normal llineal, és important perque és el cas llímit per a la suma d'un gran número de chicotetes desviacions angulars. De fet, la distribució de von Mises a sovint es coneix com a distribució "normal circular" per la seua facilitat d'us i a la seua estreta relació en la distribució normal envolta (Fisher, 1993).

La FDP de la distribució de von Mises és:

$f(\theta ;\mu ,\kappa )=\frac{e^{\kappa \cos (\theta -\mu )}}{2\pi I_0(\kappa )}$ a on $I_0$ és la funció de Bessel modificada d'orde 0.

Distribució uniforme circular

Artícul principal → Distribució circular uniforme.

La funció de densitat de provabilitat (FDP) de la distribució circular uniforme ve donada per

$U(\theta )=\frac{1}{2\pi }.$

També es pot considerar com $\kappa =0$ de la distribució de von Mises vista anteriorment.

Distribució normal envolta

Artícul principal → Distribució normal envolta.

La FDP de la distribució normal envolta (NE) és:

$NE(\theta ;\mu ,\sigma )=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\exp \left[\frac{-(\theta -\mu -2\pi k{)}^2}{2{\sigma }^2}\right]=\frac{1}{2\pi }\vartheta (\frac{\theta -\mu }{2\pi },\frac{i{\sigma }^2}{2\pi })$

a on μ i σ són la mija i la desviació estàndar de la distribució no envolta, respectivament i $\vartheta (\theta ,\tau )$ és la funció theta de Jacobi:

$\vartheta (\theta ,\tau )=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(w^2{)}^n{q}^{n^2}$ a on $w\equiv e^{i\pi \theta }$ i $q\equiv e^{i\pi \tau }.$

Distribució de Cauchy envolta

Artícul principal → Distribució de Cauchy envolta.

El pdf de la distribució de Cauchy envolta (CE) és:

$CE(\theta ;{\theta }_0,\gamma )=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{\gamma }{\pi ({\gamma }^2+(\theta +2\pi n-{\theta }_0{)}^2)}=\frac{1}{2\pi }\frac{\sinh \gamma }{\cosh \gamma -\cos (\theta -{\theta }_0)}$

a on $\gamma$ és el factor d'escala i ${\theta }_0$ és la posició màxima.

Distribució de Lévy envolta

Artícul principal → Distribució de Lévy envolta.

La FDP de la distribució de Lévy envolta (LE) és:

$f_{LE}(\theta ;\mu ,c)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sqrt{\frac{c}{2\pi }}\frac{e^{-c/2(\theta +2\pi n-\mu )}}{(\theta +2\pi n-\mu {)}^{3/2}}$

a on el valor del sumant es pren com zero quan $\theta +2\pi n-\mu \le 0$, $c$ és el factor d'escala i $\mu$ és el paràmetro d'ubicació.

Distribució normal proyectada

Artícul principal → Distribució normal proyectada.

La distribució normal proyectada és una distribució circular que representa la direcció d'una variable aleatòria en distribució normal multivariada, obtinguda per proyecció radial de la variable sobre l'esfera unitària (n-1). Per açò, i a diferència d'atres distribucions circulares comunament utilisades, no és simètrica ni unimodal.

Distribucions en varietats de dimensions superiors

Tres conjunts de punts presos de diferents distribucions de Kent en l'esfera

També existixen distribucions en l'esfera (com la distribució de Kent), en l'esfera N-dimensional (com la distribució de von Mises-Fisher), o en un bou (com la distribució bivariada de von Mises).

La matriu de distribució de von Mises-Fisher és una distribució sobre una varietat de Stiefel, i es pot utilisar per a construir distribucions de provabilitat sobre matrius de rotació.

La distribució de Bingham és una distribució sobre eixos en N dimensions, o de manera equivalent, sobre punts en l'esfera (N − 1)-dimensional en les antípodes identificades. Per eixemple, si N = 2, els eixos són rectes no dirigides que passen per l'orige en el pla. En este cas, cada eix talla el círcul unitari en el pla (que és l'esfera unidimensional) en dos punts que són antípodes entre sí. Per a N=4, la distribució de Bingham és una distribució en l'espai del cuaternión unitat (versorés). Ya que un versor correspon a una matriu de rotació, la distribució de Bingham per a N=4 es pot utilisar per a construir distribucions de provabilitat en l'espai de les rotacions, de la mateixa manera que la distribució de la matriu de von Mises-Fisher.

Estes distribucions s'utilisen, per eixemple, en geologia, en cristalografia i en bioinformática.

Vore també

• Coeficient de correlació de Pearson
• Distribució normal complexa
• Distribució envolta