Anàlisis de components principals

Anàlisis de components principals

ACP d'una distribució normal multivariante centrada en (1,3) en desviació estàndar 3 en la direcció aproximada (0,866, 0,5) i desviació estàndar 1 en la direcció perpendicular a l'anterior. Els vectores mostren els autovectores de la matriu de correlació escalats per mig de la raïl quadrada del corresponent autovalor, i desplaçats per a que el seu orige coincidixquen en la mija estadística.

En estadística, el anàlisis de components principals (en espanyol ACP, en anglés, PCA) és una tècnica utilisada per a descriure un conjunt de senyes en térmens de noves variables («components») no correlacionadas. Els components s'ordenen per la cantitat de varianza original que descriuen, per lo que la tècnica és útil per a reduir la dimensionalidad d'un conjunt de senyes.

Tècnicament, el ACP busca la proyecció segons la qual les senyes queden millor representats en térmens de mínims quadrats. Esta convertix un conjunt d'observacions de variables possiblement correlacionadas en un conjunt de valors de variables sense correlació llineal cridades components principals.

El ACP s'ampra sobretot en anàlisis exploratori de senyes i per a construir models predictius. El ACP comporta el càlcul de la descomposició en autovalores de la matriu de covarianza, normalment despuix de centrar les senyes en la mija de cada atribut.

Deu diferenciar-se del anàlisis factorial en el que té similituts formals i en el qual pot ser utilisat com un método de aproximació per a l'extracció de factors.

En l'anàlisis de senyes, el primer component principal d'un conjunt de $p$ variables, que se supon estan distribuïdes normalment de forma conjunta, és la variable derivada formada com a combinació llineal de les variables originals que explica la major part de la varianza. El segon component principal explica la major varianza de lo que queda una volta eliminat l'efecte del primer component, i podem procedir a través de $p$ iteraciones fins que s'explique tota la varianza. PCA s'utilisa més comunament quan moltes de les variables estan altament correlacionadas entre sí i és desijable reduir el seu número a un conjunt independent.

PCA s'utilisa en anàlisis exploratori de senyes i per a fer models predictius. S'utilisa comunament per a reducció de dimensionalidad proyectant cada punt de senyes en només els primers components principals per a obtindre senyes de menor dimensió preservant tanta variació de les senyes com siga possible. El primer component principal pot definir-se equivalentemente com una direcció que maximizar la varianza de les senyes proyectades. La $i$-ésima component principal pot prendre's com una direcció ortogonal a les primeres $i-1$ components principals que maximizar la varianza de les senyes proyectades.

Per a qualsevol objectiu, es pot demostrar que els components principals són vectores propis de la matriu de covarianza de les senyes. Per lo tant, els components principals es calculen a sovint per eigendecomposition de la matriu de covarianza de senyes o descomposició en valors singulars de la matriu de senyes. El ACP és el més senzill dels anàlisis multivariantes basats en vectores propis i està estretament relacionat en l'anàlisis factorial. L'anàlisis factorial sol incorporar suposts més específics del domini sobre l'estructura subjacent i resol eigenvectores d'una matriu llaugerament diferent. PCA també està relacionat en anàlisis de correlació canònica (CCA). El CCA definix sistemes de coordenades que descriuen de forma òptima la covarianza creuada entre dos conjunts de senyes, mentres que el PCA definix un nou sistema de coordenades ortogonals que descriu de forma òptima la varianza en un únic conjunt de senyes. També s'han propost variants de el ACP estàndart basades en Robust i norma L1

Història

El PCA va ser inventat en 1901 per Karl Pearson, com un anàlec del teorema de l'eix principal en mecànica; més vesprada va ser desenrollat independentment i nomenat per Harold Hotelling en la década de 1930. Depenent del camp d'aplicació, també es denomina transformada discreta Karhunen-Loève (KLT) en processament de senyals, l'Hotelling en control de calitat multivariante, descomposició ortogonal adequada (POD) en ingenieria mecànica, descomposició en valors singulars (SVD) de X (inventada en l'últim quarto del sigle XX), descomposició en valors propis d'una matriu (EVD) de X^TX en àlgebra llineal, anàlisis factorial (per a una discussió de les diferències entre PCA i factor analysis (vore Ch. 7 de Principal Component Analysis de Jolliffe), Teorema de Eckart-Young (Harman, 1960), o funcions ortogonals empíriques (EOF) en meteorologia (Lorenz, 1956), descomposició empírica de la funció pròpia (Sirovich, 1987), modos cuasiarmónicos (Brooks et al., 1988), descomposició espectral en soroll i vibracions, i anàlisis modal empíric en dinàmica estructural.

Fonamente

El ACP construïx una transformació llineal que tria un nou sistema de coordenades per al conjunt original de senyes en el qual la varianza de major tamany del conjunt de senyes és capturada en el primer eix (cridat el Primer Component Principal), la segona varianza més gran és el segon eix, i aixina successivament. Per a construir esta transformació llineal deu construir-se primer la matriu de covarianza o matriu de coeficients de correlació. Per la simetria d'esta matriu existix una base completa de vectores propis de la mateixa. La transformació que du de les antigues coordenades a les coordenades de la nova base és precisament la transformació llineal necessària per a reduir la dimensionalidad de senyes. Ademés les coordenades en la nova base donen la composició en factors subjacents de les senyes inicials.

El ACP és particularment útil per a reduir la dimensionalidad d'un grup de senyes. Els primers components principals descriuen la major part de la varianza de les senyes (més quant més correlacionadas estigueren les variables originals). Estos components de baix orde a voltes contenen l'aspecte "més important" de l'informació, i els demés components es poden ignorar. Existixen diferents tècniques per a estimar el número de components principals que són rellevants; la tècnica més apropiada dependrà de l'estructura de correlació en les senyes originals.

Matemàtiques de el ACP

Supongam que existix una mostra en n individus per a cada u dels quals s'han medit m variables (aleatòries) $F_j.$ El ACP permet trobar un número de factors subjacents p < m que expliquen aproximadament el valor de les m variables per a cada individu. El fet de que existixquen estos p factors subjacents pot interpretar-se com una reducció de la dimensionalidad de les senyes: a on abans necesitabamos m valores per a caracterisar a cada individu ara nos basten p valores. Cada u dels p trobats es diu component principal, d'ahí el nom del método.

Existixen dos formes bàsiques d'aplicar el ACP:

1. Método basat en la matriu de correlació, quan les senyes no són dimensionalmente homogéneus o l'orde de magnitut de les variables aleatòries mides no és el mateix.
2. Método basat en la matriu de covarianza, que s'usa quan les senyes són dimensionalmente homogéneus i presenten valors mijos similars.

Método basat en correlació

El método partix de la matriu de correlació, considerem el valor de cada una de les m variables aleatòries $F_j$. Per a cada u dels n individus prengam el valor d'estes variables i escrigam el conjunt de senyes en forma de matriu:

$(F_j^{\beta }{)}_{j=1,\dots ,m}^{\beta =1,\dots ,n}$.

Observe's que cada conjunt

${ℳ}_j=\{F_j^{\beta }|\beta =1,\dots ,n\}$

pot considerar-se una mostra aleatòria per a la variable $F_j$. A partir dels $m\times n$ senyes corresponents a les m variables aleatòries, pot construir-se la matriu de correlació mostral, que ve definida per:

ya que la matriu de correlació és simètrica llavors resulta diagonalizable i les seues valors propis ${\lambda }_i$ verifiquen:

Per la propietat anterior estos m valores propis reben el nom de pesos de cada u dels m components principals. Els factors principals identificats matemàticament es representen per la base de vectores propis de la matriu $𝐑$. Està clar que cada una de les variables pot ser expressada com a combinació llineal dels vectores propis o components principals.

Método basat en les covarianza

L'objectiu és transformar un conjunt donat de senyes X de dimensió n x m a un atre conjunt de senyes I de menor dimensió n x l en la menor pèrdua d'informació útil possible utilisant per a això la matriu de covarianza.

Es partix d'un conjunt n' de mostres cada una de les quals té m variables que les descriuen i l'objectiu és que, cada una d'eixes mostres, es descriga en sol I variables, a on l < m. Ademés, el número de components principals l té que ser inferior a la menor de les dimensions de X.

Les senyes per a l'anàlisis tenen que estar centrats a mija 0 (restant-los la mija de cada columna) i/o autoescalados(centrats a mija 0 i dividint cada columna per la seua desviació estàndar).

Els vectores ${𝐭}_a$ són coneguts com scores i contenen l'informació de cóm les mostres estan relacionades unes en unes atres ademés, tenen la propietat de ser ortogonals. Els vectores ${𝐩}_a$ es diuen loadings i informen de la relació existent entre les variables i tenen la qualitat de ser ortonormals. En agarrar menys components principals que variables i per l'error d'ajust del model en les senyes, es produïx un error que s'acumula en la matriu $𝐄$.

El PCA es basa en la descomposició en vectores propis de la matriu de covarianza. La qual es calcula en la següent equació:

A on ${\lambda }_a$ és el valor propi associat al vector propi ${𝐩}_a$. Per últim,

Esta equació la podem entendre com que ${𝐭}_a$ són les proyeccions de X en ${𝐩}_a$, a on els valors propis ${\lambda }_a$ medixen la cantitat de varianza capturada, és dir, l'informació que representen cada u dels components principals. La cantitat d'informació que captura cada component principal va disminuint segons el seu número és dir, el component principal número un representa més informació que el dos i aixina successivament.

Llimitacions

L'aplicació de el ACP està llimitada per varis supòsits

• Suposició de linealidad: S'assumix que les senyes observades són combinació llineal d'una certa base.

Eixemples

• Un conjunt de senyes pot descriure l'altura i el pes de 100 chiquets entre 2 i 15 anys. Abdós variables estan, òbviament, correlacionadas (els chiquets de més edat són més alts i pesen més). L'anàlisis de components principals descriu les senyes en térmens de dos noves variables. El primer component es pot interpretar com "tamany" o "edat" i arreplega la major part de la varianza de les senyes originals. El segon component descriu variabilitat en les senyes que no està correlacionada en absolut en el primer component principal "tamany", i (provablement) siga difícil d'interpretar. Si l'objectiu és reduir la dimensionalidad de les senyes, es pot descartar este segon component principal. Lo mateixa aplica si el conjunt de senyes conté un número major de variables que es poden interpretar com a mides aproximades de "tamany". Per eixemple, llongitut del fèmur, llongitut dels braços, pes, altura, etc. Un conjunt de senyes d'este tipo podria descriure's generalment en un únic component principal que es podria interpretar com "tamany" o "edat".
• Un anàlisis va considerar les calificacions escolars de n = 15 estudiants en m = 8 matèries (llengua, matemàtiques, física, anglés, filosofia, història, química, gimnàsia). Els dos primers components principals explicaven junts el 82,1% de la varianza. El primer d'ells semblava fortament correlacionado en les matèries d'humanitats (llengua, anglés, filosofia, història) mentres que el segon apareixia relacionat en les matèries de ciències (matemàtiques, física, química). Aixina sembla que existix un conjunt d'habilitats cognitives relacionades en les humanitats i un segon relacionat en les ciències, estos dos conjunts d'habilitats són estadísticament independents per lo que un alumne pot puntuar alt en solament un d'ells, en els dos o en cap.
• Un anàlisis d'11 indicadors socioeconòmics de 96 països, va revelar que els resultats podien explicar-se en alt grau a partir de sol dos components principals, el primer d'ells tenia que vore en el nivell de PIB total del país i el segon en l'índex de ruralidad.

Aplicació en filogenético

Es pot realisar l'anàlisis de components principals (PCA) en perfils d'expressió gènica. En un artícul publicat en 2019 en la revista Nature communications s'utilisa esta tècnica en els perfils d'expressió de 19 mostres de diferents ceps del complex proteic de Mycobacterium tuberculosis, com a resultat s'obté que mostres pertanyents al mateix linaje filogenético estan agrupats estretament en el PCA.

Erro al crear miniatura:

Perfils transcriptòmics globals de les mostres. a.La gràfica de PCA mostra que les mostres que pertanyen al mateix clado filogenético tendixen a agrupar-se de prop, llevat en dos casos. b Un anàlisis d'arracades reforça la tendència derivada de el PCA.

Enllaços externs

• Matemàtiques de el ACP i eixemples (Universitat Carlos III de Madrit)