Viscoelasticitat

Archiu:Mechan behav materials.gif

Esquema de diferents comportaments dels materials.

La viscoelasticidad és un tipo de comportament reológico anelástico que presenten certs materials que exhibixen tant propietats viscoses com propietats elàstiques quan es deformen.

En un sòlit viscoelástico:

1. La deformació generalment depén del temps; encara en absència de forces, la velocitat de deformació pot ser diferent de zero.
2. Les tensions i esforços resistits depenen tant de la deformació com de la velocitat de deformació; per tant l'equació constitutiva que relaciona tensions i deformacions deu tindre la forma: $\varphi ({\sigma }_{ij},{\dot{\sigma }}_{ij},\dots ,{\epsilon }_{ij},{\dot{\epsilon }}_{ij},\dots ,t)=0$
3. Existix relaixació de tensions; és dir, si se somet el sòlit a una deformació uniforme en el pas del temps les tensions disminuïxen mantenint-se constant la deformació.
4. Existix deformació per fluencia llenta; és dir, somés a una tensió constant i uniforme la deformació aumenta llaugerament en el temps.

Existixen materials que presenten dependència de la velocitat de deformació, per lo que pot donar-se la característica (2) anterior i no ser viscoelásticos. Les característiques (3) i (4) a voltes es prenen com a característiques necessàries per a classificar a un material dins dels materials viscoelásticos.

Físicament les propietats elàstiques són el resultat de desplaçar llaugerament els àtoms de la seua posició d'equilibri a lo llarc de plans cristalográficos, mentres les propietats viscoses procedixen de la difusió d'àtoms o molècules en l'interior del material.

Viscoelasticidad llineal

Un material viscoelástico llineal general és un material per al qual existix una relació llineal entre la tensió i les seues derivades i la deformació i les seues derivades, en el cas unidimensional la relació més general possible d'un material viscoelástico llineal és:

En este cas usant transformades de Laplace i si $n_2\ge n_1$ i $\sigma (0)=\epsilon (0)=0$, l'expressió (1a) pugues escribrise simplement com:

Sent $N=n_2-n_1$. Quan $n_2<n_1$, l'expressió equivalent a (1a) és més simple:

Encara que esta expressió no s'usa perque en la pràctica no es coneixen materials que s'ajusten be a este tipo de llei. Aixina que ací es restringirà la discussió a $n_2\ge n_1$.

Els dos models viscoelásticos més coneguts, el de Maxwell i el de Kelvin-Voigt són casos particulars de (1a) que satisfan $n_1\le n_2\le 1$. En abdós $n_2=1$, i $n_1=0$ per al de Kelvin-Voigt i $n_1=1$ per al de Maxwell.

Creep i relaixació

Baixe els mateixos supòsits anteriors, pot provar-se que un material viscoelástico llineal admet una caracterisació matemàtica en que la resposta de creep i de relaixació de càrrega admeten una separació en forma de suma. Els models de viscoelasticidad llineal poden ser representats per mig d'una equació integral de Volterra que relaciona la tensió i la deformació, és dir, per mig d'una expressió del tipo:

o també:

a on:

$t$, és el temps.

$\sigma (t)$, és la tensió mecànica.

$\epsilon (t)$, és la deformació o elongació.

$E_{0,C}$ i $E_{0,R}$, són els mòduls elàstics llongitudinals per al creep i la relaixació.

$K(t)$, és la funció de creep.

$F(t)$, és la funció de relaixació.

La viscoelasticidad llineal té un ranc d'aplicació vàlit només per a deformacions molt menudes. Per al cas d'un material perfectament elàstic tant la funció de creep com la de relaixació són idénticamente nules.

Equacions constitutives de viscoelasticidad llineal

Existixen diversos models constitutius para materials viscoelásticos llineals. Eixos models inclouen el model de Maxwell, el model de Kelvin-Voigt i el model de sòlit viscoelástico llineal estàndart que combina els dos models anteriors. Tots estos models descomponen la tensió i deformació en dos sumants, un que representa els efectes elàstics i un atre que representa els efectes viscosos, sent estos models, interpretables en térmens de molls i esmortidorés. Cada u d'estos models diferix en la disposició dels molls i esmortidors.

Una atra propietat interessant és que les equacions constitutives també poden ser interpretades en térmens de circuits elèctrics, en els que la tensió mecànica seria l'equivalent del voltage i la velocitat de deformació seria equivalent a l'intensitat de corrent. El mòdul elàstic seria equivalent a la capacitancia del circuit (que medix la capacitat d'almagasenage d'energia) i la viscosidad a la resistència del circuit (que medix la capacitat de dissipar energia).

Model de Maxwell

Archiu:Maxwell diagram.svg

Representació esquemàtica del model de Maxwell.

El model de Maxwell és un cas particular de l'expressió (1a) en el que $n_1=n_2=1$, també cridat material viscoelástico de "llarga memòria". Una virtut del model de Maxwell és que admet una representació intuïtiva en térmens de molls i disipadores (esmortidors), més concretament el model de Maxwell representa un element elàstic dispost en série en un esmortidor. l'equació constitutiva del model ve donada per la següent equació diferencial de primer orde:

Este model prediu que en un material lloc baix deformació constant, les tensions gradualment es relaixaran fins a fer-se zero. Igualment prediu que si el material es posa a tensió constant la deformació tindrà dos components, un primer component elàstic que apareix instantàneament i una deformació a llarc determini de tipo viscós que creixerà en el temps mentres seguixquen existint forces. Alternativament l'equació constitutiva d'este model pot escriure's com:

Integrant per parts l'últim terme es pot obtindre reescriure l'expressió anterior en térmens de la funció de relaixació $F(\tau )$ i la velocitat de deformació:

Per a obtindre la de funció de creep $K(\tau )$ s'integra directament (3a), i integrant per parts s'obté:

I no és possible trobar una funció ordinària per a expressar lo anterior en la forma (2a).

El model de Maxwell prediu que la tensió decaurà exponencialment en el temps en un polímero somés a deformació constant, la qual cosa s'ajusta prou be a lo observat experimentalment per a molts polímero. No obstant, una llimitació important és que no prediu el comportament de "creep" de molts polímero de manera massa fidedigna ya que en este cas prediu un aument llineal de la deformació en el temps si la tensió és constant, no obstant la major part dels polímero mostren una taxa de deformació decreixent en el temps. Les principals aplicacions d'este model són la modelización dels polímero termoplàstics prop de la seua temperatura de fusió, la del formigó fresc i la de numerosos metals prop del seu punt de fusió.

Model de Voigt-Kelvin

Archiu:Kelvin Voigt diagram.svg

Representació esquemàtica del model de Kelvin-Voigt.

El model de Kelvin-Voigt o model de Voigt és un cas particular de l'expressió (1a) en el que $n_1=0,n_2=1$, també cridat material viscoelástico de "curta memòria". De la mateixa manera que el model anterior admet una representació simple en térmens de molls i esmortidors: el model és representable per un esmortidor newtoniano i un moll que seguix la llei de Hooke conectat en paralel a l'esmortidor, tal com mostra la figura. l'equació constitutiva del model pot expressar-se com a equació diferencial de primer orde:

Este model representa un sòlit que sofrix deformació viscoplástica reversible. Baixe l'aplicació d'una tensió constant el material es deforma a un ritme progressivament més llent, aplegant asintóticamente a un estat cuasiestacionario. Quan s'eliminen les forces exteriors que generen les tensions, el material es relaixa fins al seu estat no deformat original. En una situació de tensió constant (creep), el model és prou realiste i prediu deformacions que tendixen al llímit σ/I per a temps grans.

En este cas la funció de relaixació $F(\cdot )$ ve donada per la delta de Dirac (d'ahí el nom de "curta memòria") ya que:

Per a obtindre la funció de creep $K(\cdot )$ es busca la transformada de Laplace de (4a) d'a on és fàcil aïllar la transformada de la deformació i aplicant la transformada inversa s'aplega fàcilment a que:

Integrant per parts esta última expressió s'aplega a una expressió que conté la funció de creep o fluencia llenta:

Este model s'usa per a explicar el comportament de "creep" dels polímero. Encara que, de la mateixa manera que el model de Maxwell, el model de Kelvin-Voigt té llimitacions empíriques. Encara que modela molt ben el "creep" sobre la relaixació el model generalment s'ajusta menys al comportament dels materials viscoelásticos. Les aplicacions principals del model són la modelización d'polímero orgànics, goma, caucho i fusta quan la càrrega no és molt elevada.

Model estàndar de sòlit viscoelástico

Archiu:Caps block 2 .svg

Representació esquemàtica del model estàndar de sòlit viscoelástico.

Els dos últims models exposts tenen llimitacions en cert modo complementàries. Per eixa raó es considera que un model que combine característiques d'abdós pot ser un model raonable de sòlit viscoelástico. L'equació constitutiva d'este model ve donada per la següent equació diferencial:

Usant transformades de Laplace, rebujant la transformada de la tensió i antitransformando s'obté una equació de tipo Volterra com en els casos anteriors, que té la forma:

Una integració per parts de l'últim terme permet escriure en térmens de la funció de relaixació $F(\cdot )$ i la velocitat de deformació:

Model de Burgers

Archiu:Burgers model.svg

Representació esquemàtica del model viscoelástico de Burgers.

El model de Burgers combina característiques dels models de Maxwell i Kevin-Voigt. L'equació constitutiva es pot escriure com de manera compacta com a equació diferencial de segon orde:

A on ${\lambda }_i={\eta }_i/E_i$, usant la transformada de Laplace es pot integrar de manera mecànica l'equació anterior (suponent que inicialment tant la tensió, com la deformació i les seues taxes de canvi són nules):

D'a on s'obté, integrant per parts, la funció de relaixació:

I també per mig de la transformada de Laplace s'obté l'expressió:

A on:

$C_1=({\eta }_1+{\eta }_2{)}^{-1}{C}_2=\frac{({\eta }_1{E}_2-{\eta }_2{E}_1{)}^2}{(E_1+E_2)({\eta }_1+{\eta }_2)},{\tau }_1=\frac{{\eta }_1^{-1}+{\eta }_2^{-1}}{E_1^{-1}+E_2^{-1}}$

Que, integrada per parts, permet obtindre la funció de creep:

Model de Wiechert

Archiu:Weichert.svg

Esquematisació del model de Maxwell-Weichert

El model de Wiechert o Maxwell-Wiechert (a voltes també model generalisat de Maxwell) és una generalisació del model viscolástico estàndar (i per tant també del model de Maxwell simple). Este model pren en conte que la relació no ocorre segons un únic ritme característic, sino segons una distribució d'escales de temps. Açò succeïx perque existixen segments moleculars de diferents llongituts, contribuint els més curts menys que els més llarcs, d'ahí la diversitat d'escales de temps. El model de Weichert modeliza açò per mig de tants conjunts de moll-esmortidor com siguen necessaris per a aproximar la distribució d'escales de temps. La figura de la dreta representa un possible model de Wiechert. Donat un model de Maxwell-Wiecher en $N+1$ elements que els seus mòduls d'elasticitat llongitudinals siguen $E_i$ en $i\in \{0,\dots ,n\}$, i que les seues viscosidades siguen ${\eta }_i$ en $i\in \{1,\dots ,n\}$, i en temps de relaixació donats per ${\tau }_i={\eta }_i/E_i$, llavors, la forma general del model de Maxwell-Wiechert ve doneu per:

Partint igual que en els casos anteriors d'un estat natural no deformat $\sigma (t)=0,\epsilon (t)=0,t\le 0$ i usant el formalisme de la transformada de Laplace tenim que la tensió s'expressa com:

Per lo fent integració per parts s'aplega a que:

A on la funció de relació té directament la forma d'una série de Prony.

Este model troba aplicació en metals i aleacions metàliques a temperatures més baixes que un quarto de la seua temperatura absoluta de fusió (expressada en K).

Viscoelasticidad no llineal

Models unidimensionals

La viscosidad no llineal ocorre quan les funcions de creep i de relaixació de càrrega no es poden separar. Açò ocorre en deformacions grans, si el material canvia les seues propietats durant la deformació, si els temps de la deformació són lo suficientment llarcs o si intervé algun atre tipo de relaixació.

Existix una pléyade de models no llineals, dependents d'unes poques constants característiques del material els valors del qual poden ajustar-se al resultat dels experiments. Entre ells poden citar-se:

• Model de Eyring: $\sigma =A{\sinh }^{-1}(\alpha \dot{\epsilon })$
• Model de Ostwald-de Waele: $\sigma =A{\dot{\epsilon }}^{\alpha }$
• Model de Briant: $\sigma =A\dot{\epsilon }(1+\frac{B}{\dot{\epsilon }})$
• Model de Powell-Eyring: $\sigma =A_{\mathrm{\infty }}\dot{\epsilon }+\frac{A_0-A_{\mathrm{\infty }}}{\alpha }{\sinh }^{-1}(\alpha \dot{\epsilon })$
• Model de Robertson-Stiff: $\sigma =A(\dot{\epsilon }+a{)}^{\alpha }$
• Model de Shangraw-Grim-Mattocks: $\sigma =A\dot{\epsilon }+B(1-e^{-\alpha \dot{\epsilon }})$
• Model de Sisko: $\sigma =A\dot{\epsilon }+B{\dot{\epsilon }}^{\alpha }$
• Model de Williamson: $\sigma =A\dot{\epsilon }+B\frac{\dot{\epsilon }}{\dot{\epsilon }+\alpha }$
• Model de Carreau: $\sigma =A_{\mathrm{\infty }}\dot{\epsilon }+(A_0-A_{\mathrm{\infty }})\dot{\epsilon }(1+a\dot{\epsilon }{)}^{-\alpha }$

En estos models les constants prenen valors positius i deuen determinar-se per comparació en experiments, ya que no semblen tindre un significat teòric profunt. De fet estos models són essencialment empírics i no existixen raons teòriques que els sustente a banda de que s'ajusten experimentalment a diversos materials. Només uns pocs d'estos models admeten generalisacions tridimensionals consistents.

Teoria general

La teoria general de materials viscoelásticos para deformació finita para materials simples, es basa en assumir una série de axioma raonables que llimiten la forma funcional de les equacions més generals possibles, entre estes condicions s'ampren usualment:

• Principi de localitat i determinisme
• Principi d'objectivitat material (o covarianza)
• Dependència en derivades primeres del gradient de deformació.

Es poden donar diferents equacions diferencials per al tensor tensió de Cauchy:

a on:

$X,x,t$ són respectivament les coordenades materials, espacials i el temps.

$𝐂(X,t)$ és el tensor [esquerre] de Cauchy per a les deformacions.

$𝐅(X,t),{𝐅}^{-1}(x,t),$ són el gradient de deformació i el seu invers.

$\overline{𝐄}(X(x),s)={𝐅}^T(X,t)[{\widehat{𝐄}}_t(x(X),t-s)]𝐅(X,t)$

${\widehat{𝐄}}_t(x,s)=1/2({\widehat{𝐂}}_t(x,s)-𝐈)$

${\widehat{𝐂}}_t(x,s)={𝐅}^{-T}(x,t)[𝐂(X(x),s)]{𝐅}^{-1}(x,t)$

${𝐟}_1(𝐂(X,t))$ representa la part de la resposta elàstica.

${\Phi }_1({𝐄}^{*}(X,\cdot ),𝐂(X,t))$ representa la part de la resposta pròpiament viscoelástica.

Per al primer tensor de Piola-Kirchhoff es té:

a on:

${𝐟}_2(𝐂(X,t))$ dona la resposta elàstica.

${\Phi }_2(\overline{𝐄}(X,\cdot ),𝐂(X,t))$ dona la resposta pròpiament viscoelástica.