Topología de l'orde (anàlisis funcional)

En matemàtiques, específicament en teoria de l'orde i anàlisis funcional, la topología de l'orde d'un espai vectorial ordenat $(X,\le )$ és la topología més fina en un espai vectorial topològic (EVT) localment convexo en $X$ per al que cada interval d'orde està acotat, a on un interval d'orde en $X$ és un conjunt de la forma $[a,b]:=\{z\in X:a\le z\text{and }z\le b\}$ en el que $a$ i $b$ pertanyen a $X.$

La topología de l'orde és una topología important que s'usa en freqüència en la teoria d'espais vectorials topològics ordenats perque la topología sorgix directament de les propietats algebraiques i teòriques de l'orde de $(X,\le ),$ en lloc d'alguna topología que $X$ comence a tindre. Açò permet establir conexions íntimes entre esta topología i les propietats algebraiques i teòriques de l'orde de $(X,\le ).$ Per a molts espais vectorials topològics ordenats que sorgixen en l'anàlisis matemàtic, les seues topología són idèntiques a la topología de l'orde.

Definicions

La família de totes les topología localment convexas en $X$ per a les que cada interval d'orde està acotat no està buida (ya que conté la topología més grossa possible en $X$) i la topología de l'orde és el llímit superior d'esta família.

Un subconjunt de $X$ és un entorn de l'orige en la topología de l'orde si i solament si és convexo i absorbix tots els intervals de l'orde en $X.$ Un veïnat de l'orige en la topología de l'orde és necessàriament un conjunt absorbent perque $[x,x]:=\{x\}$ per a tots els $x\in X.$

Per a cada $a\ge 0,$, considere's que $X_a=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n[-a,a]$ i asignese a $X_a$ la seua topología de l'orde (lo que ho convertix en un espai normal). El conjunt de tots els $X_a$ es dirigix baix inclusió i si $X_a\subseteq X_b$ llavors l'inclusió natural de $X_a$ en $X_b$ és contínua. Si $X$ és un espai vectorial ordenat regularment sobre els número real i si $H$ és qualsevol subconjunt del con positiu $C$ de $X$ que és cofinal en $C$ (per eixemple, $H$ podria ser $C$), llavors $X$ en la seua topología de l'orde és el llímit inductivo de $\{X_a:a\ge 0\}$ (a on les aplicacions d'enllaç són les inclusions naturals).

L'estructura reticular pot compensar en part qualsevol falta d'unitat d'orde:

En particular, si $(X,\tau )$ és un retícul de Fréchet ordenat sobre número real, llavors $\tau$ és la topología ordenada en $X$ si i solament si el con positiu de $X$ és un con normal en $(X,\tau ).$

Si $X$ és un espai de Riesz ordenat regularment, llavors la topología ordenada és la topología de el EVT localment convexa més fina en $X$, lo que convertix a $X$ en un retícul vectorial localment convexo. Si ademés $X$ té un orde complet, llavors $X$ en la topología de l'orde és un espai barrilado i cada descomposició de banda de $X$ és una suma topològica directa per a esta topología. En particular, si l'orde d'un retícul vectorial $X$ és regular, llavors la topología de l'orde la genera la família de totes les seminormas reticulars en $X.$.

Propietats

En tot moment, $(X,\le )$ serà un espai vectorial ordenat i ${\tau }_{\le }$ denota la topología de l'orde en $X.$

• El dual de $(X,{\tau }_{\le })$ és l'orde enllaçat dual $X_b$ de $X.$
• Si $X_b$ separa punts en $X$ (per eixemple, si $(X,\le )$ és regular), llavors $(X,{\tau }_{\le })$ és un EVT localment convexo bornológico.
• Cada operador llineal positiu entre dos espais vectorials ordenats és continu per a les topología de l'orde respectives.
• Cada unitat d'orde d'un EVT ordenat està dins del con positiu de la topología de l'orde.
• Si l'orde d'un espai vectorial ordenat $X$ és un orde regular i si cada seqüència positiva de tipo ${\ell }^1$ en $X$ és d'orde sumable, llavors $X$ dotat de la seua topología de l'orde és un espai barrilado.
• Si l'orde d'un espai vectorial ordenat $X$ és un orde regular i si para tot $x\ge 0$ i $y\ge 0$ es complix que $[0,x]+[0,y]=[0,x+y]$, llavors el con positiu de $X$ és un con normal en $X$ quan $X$ està dotat de la topología de l'orde. En particular, l'espai dual continu de $X$ en la topología de l'orde serà l'orde dual $X$⁺.
• Si $(X,\le )$ és un espai vectorial ordenat arquimedianamente sobre els número real que té una unitat d'orde, i fent que ${\tau }_{\le }$ denote la topología de l'orde en $X.$ Llavors, $(X,{\tau }_{\le })$ és un espai vectorial topològic ordenat que és normable, ${\tau }_{\le }$ és la topología de el EVT localment convexa més fina en $X$ tal que el con positiu és normal , i les següents proposicions són equivalents:

1. $(X,{\tau }_{\le })$ està complet.
2. Cada seqüència positiva de tipo ${\ell }^1$ en $X$ és d'orde sumable.

• En particular, si $(X,\le )$ és un espai vectorial ordenat arquimedianamente que té una unitat d'orde, llavors l'orde $\le$ és un orde regular i $X_b=X^{+}.$
• Si $X$ és un espai de Banach i un espai vectorial ordenat en una unitat d'orde, llavors la topología de $X$ és idèntica a la topología de l'orde si i solament si el con positiu de $X$ és un con normal en $X.$
• Un homomorfisme d'un retícul vectorial $X$ sobre $Y$ és un homomorfisme topològic quan a $X$ i $Y$ se'ls donen les seues respectives topología d'orde.

Vore també

• Mètrica generalisada
• Topología de l'orde
• Espai vectorial topològic ordenat
• Espai vectorial ordenat
• Retícul vectorial

Bibliografia

• (2011) Topological Vector Spaces, Second edició, Boca Raton, FL: CRC Press. OCLC 144216834. ISBN 978-1584888666.
• Schaefer, Helmut H. (1999). Topological Vector Spaces, Second edició (vol. 8), New York, NY: Springer New York Imprint Springer. OCLC 840278135. ISBN 978-1-4612-7155-0.