Teoria completa

En llògica matemàtica, una teoria és completa si és consistent i per a cada fòrmula tancada en el llenguage de la teoria, o be és demostradora o la seua negació lo és. És dir, per a tota sentència $\phi ,$ $T⊢\phi$ o $T⊢\mathrm{\neg }\phi$ pero mai abdós. Tota teoria de primer orde lo suficientment rica com per a permetre que es formule un raonament matemàtic no pot ser completa, com ho demostra la primera teorema de incompletitud de Gödel .

Este sentit de completitud és distint de la noció de completitud llògica, que afirma que totes les declaracions semánticamente vàlides són teoremes demostradores (és dir, "semánticamente vàlit"). La teorema de completitud de Gödel tracta sobre este últim tipo de completitud.

Els conjunts maximales consistents són una ferramenta fonamental en la teoria de models de la llògica clàssica i modal . La seua existència és conseqüència directa del lema de Zorn, basat en l'idea de que una contradicció implica l'us d'un número finito de premisses. En el cas de les llògiques modals, la colecció de conjunts maximales consistents que estenen una teoria T pot rebre l'estructura d'un model de T, cridat model canònic.

Eixemples

Alguns eixemples de teories completes són:

• La teoria d'els órdens llineals densos sense punts finals.
• La teoria de camps algebraicamente tancats d'una característica donada.
• La teoria d'els camps tancats reals.
• Un grup de tres elements.

Vore també

• Lema de Lindenbaum
• Prova de Łoś-Vaught

Referències

• Mendelson, Elliott (1997). Introduction to Mathematical Logic, Fourth edició, Chapman & Hall, pp. 86. ISBN 978-0-412-80830-2.
• Enderton, Herbert B. (2001). A mathematical introduction to logic, 2nd ed edició, Academic Press. OCLC 45830890. ISBN 0-12-238452-0.