Teorema fonamental de la teoria local de curves

En geometria diferencial, la teorema fonamental de les curves espacials establix que tota curva regular en l'espai euclídeo tridimensional queda determinada, llevat moviment rígit, pel seu curvatura i torsió.

És dir, si sabem quin és la curvatura i la torsió d'una curva en tots els seus punts, podem reconstruir exactament la seua forma. La forma que obtingam, no obstant, no estarà determinada de manera única, pero dos possibles reconstrucció qualssevol només poden diferir per un moviment rígit de ${ℝ}^3$, és dir, una transformació afí que conserve les distàncies i l'orientació de l'espai (una translació o una rotació, per eixemple, pero no una simetria, puix encara que conserve les distàncies, no conservaria l'orientació).

Una manera de justificar intuitivamente esta indeterminación és notar que la curvatura i la torsió són paràmetros locals de la curva: en cada punt, només depenen de cóm canvia la curva en un entorn seu. Aixina, encara que sí que nos permeten saber quin és la "forma de la curva" en cada punt, no nos donaran informació sobre la colocació concreta de la mateixa en l'espai.

Definicions prèvies

Una curva parametrizada diferenciable en ${ℝ}^3$ és una aplicació $\gamma :I\subseteq ℝ\to {ℝ}^3$ de classe ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}(I)$. Una manera intuïtiva d'interpretar la definició és que $t\in I$ representa el temps, i llavors $\gamma (t)\in {ℝ}^3$ és la posició d'una partícula en l'espai a temps $t$. La trayectòria de la partícula seria la curva.

Diem que $\gamma$ està parametrizada per l'arc si $\Vert {\gamma }^{\prime }(t)\Vert =1$ en tot temps $t$. Seguint en l'interpretació anterior, ${\gamma }^{\prime }(t)$ representaria el vector velocitat del moviment, i $\Vert {\gamma }^{\prime }(t)\Vert$ la velocitat (escalar) de la partícula. Aixina, direm que $\gamma$ està parametrizada per l'arc si es recorre a velocitat constant igual a 1.

Triedro de Frenet, curvatura i torsió

Archiu:Frenetframehelix.gif

El triedro de Frenet-Serret movent-se a lo llarc d'una hèliç . La T està representada per la flecha blava, la N per la flecha roja, i la B per la flecha negra.

Les següents definicions es fan baix l'hipòtesis de que la curva està parametrizada per l'arc, que és tot lo que necessita esta pàgina. Per a les definicions generals, vore Geometria diferencial de curves.

Donada una curva parametrizada per l'arc, ${\gamma }^{\prime }(t)$ és un vector unitari tangente a la curva en $\gamma (t)$. Escriurem el vector tangente com $T(t)={\gamma }^{\prime }(t)$. Intuitivamente, quant més ràpit canvie este vector tangente, més ràpit canvia la direcció cap a la que es mou la curva, és dir, més curvada està. Per eixe motiu definim la curvatura de $\gamma$ com $\kappa (t)=\Vert T^{\prime }(t)\Vert =\Vert {\gamma }^{″}(t)\Vert$. Note's que $\kappa (t)>0$ sempre.

Per un atre costat, en els punts a on la curvatura siga distinta de 0, podem considerar un vector unitari $N(t)=\frac{{\gamma }^{″}(t)}{\kappa (t)}$, que apunta en la direcció en que canvia el vector tangente. Com $T(t)$ té norma constant, és senzill demostrar que $N(t)$ i $T(t)$ són perpendiculars derivant l'expressió $⟨T(t),T(t)⟩=1$. Cridem puix vector normal a $N(t)$.

Per últim, una volta construïts els vectores $T(t)$ i $N(t)$, podem considerar el vector binormal $B(t)=T(t)\times N(t)$ que, junt en els dos vectores anteriors, forma una base ortonormal directa de ${ℝ}^3$ en cada temps $t$. És senzill demostrar, derivant l'expressió $⟨B(t),B(t)⟩=1$, que $B^{\prime }(t)\perp B(t)$ i, derivant $B(t)=T(t)\times N(t)$ i usant que $T^{\prime }(t)={\gamma }^{″}(t)=\kappa (t)N(t)$, que $B^{\prime }(t)\perp T(t)$. D'açò es deduïx que $B^{\prime }(t)\parallel N(t)$. Aixina que, $B^{\prime }(t)=-\tau (t)N(t)$ per a un cert número real $\tau (t)$ que cridarem la torsió de $\gamma$ (alguns autors prenen el signe de $\tau (t)$ al revés).

A la base ortonormal directa $(T(t),N(t),B(t))$ la cridem triedro de Frenet.

Fòrmules de Frenet-Serret

Com $(T(t),N(t),B(t))$ és una base de ${ℝ}^3$ per a cada $t$ i $T^{\prime }(t),N^{\prime }(t),B^{\prime }(t)$ són vectores de ${ℝ}^3$, podem calcular els seus coeficients en eixa base. Alguns d'eixos coeficients ya s'han definit dalt com la curvatura i la torsió, i els demés es poden calcular de forma senzilla derivant els productes escalares dels vectores de la base (vore Fòrmules de Frenet-Serret). Finalment s'obté que

$\begin{array}{ccccc}{T}^{\prime }(t)& =& & \kappa (t)N(t)& \\ & \\ N^{\prime }(t)& =& -\kappa (t)T(t)& & +\tau (t)B(t)\\ & \\ B^{\prime }(t)& =& & -\tau (t)N(t)& \end{array}$

Este conjunt d'equacions diferencials es coneix com a fòrmules de Frenet-Serret.

Enunciat precís

Donades dos funcions $\kappa (t)>0,\tau (t)$ de classe ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}(I)$ en un cert interval $I\subseteq ℝ$, existix una curva $\gamma :I\to {ℝ}^3$ parametrizada per l'arc tals que en cada $t\in I$ la curvatura i la torsió de $\gamma$ són $\kappa (t)$ i $\tau (t)$, respectivament.

Ademés, qualsevol atra curva $\overline{\gamma }$ que satisfaça les mateixes condicions diferirà de $\gamma$ per un moviment rígit, açò és, existirà una isometría llineal $f:{ℝ}^3\to {ℝ}^3$ en determinant positiu i un vector $c\in {ℝ}^3$ tals que $\overline{\gamma }=f\circ \gamma +c$ (és dir, el moviment rígit $u\mapsto f(u)+c$ mana la curva $\gamma$ a la curva $\overline{\gamma }$).

Referències

• do Carmo, Manfredo (1976). Differential Geometry of Curves and Surfaces. ISBN 0-13-212589-7.