Teorema del virial

En mecànica clàssica, la teorema del virial és una equació general que relaciona l'energia cinètica total promig $⟨T⟩$ d'un sistema en la seua energia potencial promig $⟨V⟩$, a on els paréntesis angulars representen el promig temporal de la magnitut continguda entre ells. Matemàticament, la teorema del virial establix que:

A on F_k representa la força sobre la partícula k-ésima, que està ubicada en la posició r_k.

Aplicacions

La teorema del virial permet calcular l'energia cinètica total promig encara per a sistemes molt complexos en els que és molt difícil obtindre una solució exacta, tals com els relacionats en mecànica estadística; esta energia cinètica total promig es relaciona en la temperatura del sistema a través del teorema de equipartición. Un eixemple de les seues moltes aplicacions és l'us de la teorema del virial per a calcular el llímit de Chandrasekhar per a l'estabilitat de les estrelas nanes blanques. La paraula «virial» té el seu orige en vis, la paraula en Llatí per a «força» o «energia», i Clausius en 1870 li va donar la seua accepció tècnica.

Si la força entre dos partícules qualssevol del sistema és produïda per una energia potencial V(r)=αr ⁿ que és proporcional a alguna potencia n de la distància entre les partícules r, la teorema del virial adopta la forma:

En Termodinàmica, la teorema del virial nos permet escriure un model que s'aproxime a un gas real, que es trobe en la Naturalea. Per a això, s'usa un desenroll en potències d'1/v, i s'obté (en magnituts molar):

A on B(T), C(T), ..., són el segon coeficient del virial, tercer coeficient del virial respectivament. A este desenroll també se li coneix en el nom de desenroll de Kammerlingh Onnes. Com a eixemple, el gas de van der Waals pot escriure's usant el desenroll de Kammerlingh Onnes com (de nou, en magnituts molar):

Per lo tant, dos voltes l'energia cinètica total $⟨T⟩$ és igual a n voltes l'energia potencial total promig $⟨V_{TOT}⟩$. A on V(r) representa l'energia potencial entre dos partícules, V_TOT representa l'energia potencial total del sistema, o siga la suma de l'energia potencial V(r) sobre tots els parells de partícules en el sistema. Un eixemple comú d'este sistema és una estrela que s'existix gràcies a la seua pròpia força de gravetat, a on n és -1.

Encara que la teorema del virial depén de promediar l'energia cinètica total i l'energia potencial total, esta presentació deixa per a un pas pròxim el promediar.

Definicions del virial i la seua derivada temporal

Per a un grup de $N$ partícules puntuals, el moment d'inèrcia escalar I sobre l'orige queda definit per l'equació

$I=\sum _{k=1}^N{m}_k{𝐫}_k^2=\sum _{k=1}^N{m}_k{r}_k^2$

a on m_k i r_k representen la massa i la posició de la partícula k^ésima. El virial escalar G queda definit per l'equació

$G=\sum _{k=1}^N{𝐩}_k\cdot {𝐫}_k$

a on p_k és el vector moment de la partícula k^ésima. Suponent que les masses són constants, el virial G és la derivada temporal d'este moment d'inèrcia

$G=\frac{1}{2}\frac{dI}{dt}=\sum _{k=1}^N{m}_k\frac{d{𝐫}_k}{dt}\cdot {𝐫}_k=\sum _{k=1}^N{𝐩}_k\cdot {𝐫}_k$

A la seua volta, la derivada temporal del virial G és

$\frac{dG}{dt}=\sum _{k=1}^N{𝐩}_k\cdot \frac{d{𝐫}_k}{dt}+\sum _{k=1}^N\frac{d{𝐩}_k}{dt}\cdot {𝐫}_k=\sum _{k=1}^N{m}_k\frac{d{𝐫}_k}{dt}\cdot \frac{d{𝐫}_k}{dt}+\sum _{k=1}^N{𝐅}_k\cdot {𝐫}_k$

o, en forma més simple,

$\frac{dG}{dt}=2T+\sum _{k=1}^N{𝐅}_k\cdot {𝐫}_k.$

Ací $m_k$ és la massa de la partícula $k^{esima}$ , ${𝐅}_k=\frac{d{𝐩}_k}{dt}$ és la força neta sobre la partícula i $T$ és l'energia cinètica total del sistema

$T=\frac{1}{2}\sum _{k=1}^N{m}_k{v}_k^2=\frac{1}{2}\sum _{k=1}^N{m}_k\frac{d{𝐫}_k}{dt}\cdot \frac{d{𝐫}_k}{dt}.$