Teorema de la parada opcional

En teoria de la provabilitat, la teorema de la parada opcional (o teorema del mostreig opcional de Doob) afirma que, baixe certes condicions, l'esperança d'una martingala en un temps de parada és igual al seu valor esperat inicial. Ya que les martingales poden utilisar-se per a modelizar la riquea d'un apostador que participa en un joc just, la teorema de la parada opcional diu que, en promig, no pot obtindre's cap guany parant el joc sobre la base de l'informació disponible fins al moment (és dir, sense conéixer el resultat futur).

La teorema de la parada opcional és una important ferramenta en matemàtica financera en el context del teorema fonamental de valoració d'actius.

Enunciat (en temps discret)

Siga $(\Omega ,ℱ,𝔽=({ℱ}_t{)}_{t\in {\mathbb{N}}_0},P)$ un espai de provabilitat filtrat, a on ${\mathbb{N}}_0=\mathbb{N}\cup \{0\}$. Siga $X=(X_t{)}_{t\in {\mathbb{N}}_0}$ una $(𝔽,P)$-martingala, i siga $\tau$ un $𝔽$-temps de parada. Suponem que es dona una de les següents tres condicions:

(a) El temps de parada $\tau$ és casi segurament acotat, és dir, existix una constant $c\in \mathbb{N}$ tal que $\tau \le c$ casi segurament.

(b) El temps de parada $\tau$ té esperança finita, i les esperances condicionals del valor absolut dels increments de $X$ són casi segurament acotades; més precisament, $E[\tau ]<\mathrm{\infty }$ i existix una constant $c$ tal que $E[|X_{t+1}-X_t||{ℱ}_t]\le c$ casi segurament en el succés $\{\tau >t\}$, per a tot $t\in {\mathbb{N}}_0$.

(c) Existix una constant $c$ tal que $|X_{\tau \wedge t}|\le c$ casi segurament per a tot $t\in {\mathbb{N}}_0$, a on $\wedge$ denota l'operador mínim.

Llavors $X_{\tau }$ és una variable aleatòria casi segurament ben definida, i $E[X_{\tau }]=E[X_0]$.

Análogamente, si el procés estocàstic $X=(X_t{)}_{t\in {\mathbb{N}}_0}$ és una submartingala o una supermartingala, i una de les condicions anteriors es complix, llavors

$E[X_{\tau }]\ge E[X_0]$

o

$E[X_{\tau }]\le E[X_0]$,

respectivament.

Observació

Baixe la condició (c), és possible que el succés $\tau =\mathrm{\infty }$ tinga provabilitat estrictament positiva. En este succés, $X_{\tau }$ es definix com el llímit puntual de $(X_t{)}_{t\in {\mathbb{N}}_0}$ quan $t\to \mathrm{\infty }$, que existix casi segurament pel teorema de convergència de martingales de Doob.