Teorema de desplaçament exponencial

En matemàtiques, la teorema de desplaçament exponencial és un teorema sobre operadors diferencials polinòmics (operadors-D) i funcions exponencials. Permet eliminar una funció exponencial, de l'operador diferencial ¨D¨, quan esta s'està multiplicant en una atra baixe l'operador diferencial.

La teorema establix que, si P(D) és un polinomi D-operador, llavors, per a qualsevol funció diferenciable ¨i¨, es té que:

$P(D)(e^{ax}y)\equiv e^{ax}P(D+a)y.$

Per a demostrar este resultat, es procedix per inducció. Note's que només el cas especial:

$P(D)=D^n$

necessita ser provat, ya que el resultat general del polinomi pot intuir-se fàcilment per la linealidad de l'operador diferencial.

El resultat és claramenet cert per a n = 1 , per lo tant:

$D(e^{ax}y)=e^{ax}(D+a)y.$

Ara se supon que el resultat és cert per a n=k, això significa que:

$D^k(e^{ax}y)=e^{ax}(D+a{)}^{k}y.$

Llavors,

$\begin{array}{cc}{D}^{k+1}(e^{ax}y)& \equiv \frac{d}{dx}\{e^{ax}(D+a{)}^{k}y\}\\ & =e^{ax}\frac{d}{dx}\{(D+a{)}^{k}y\}+a{e}^{ax}\{(D+a{)}^{k}y\}\\ & =e^{ax}\{(\frac{d}{dx}+a)(D+a{)}^{k}y\}\\ & =e^{ax}(D+a{)}^{k+1}y.\end{array}$

Açò completa la demostració.

La teorema de desplaçament també pot ser aplicat per al invers multiplicativo del polinomi característic P(D):

$\frac{1}{P(D)}(e^{ax}y)=e^{ax}\frac{1}{P(D+a)}y.$

Relacionat

Hi ha una versió similar de la teorema de desplaçament per a les transformades de Laplace ($t<a$):

$e^{-as}ℒ(f(t))=ℒ(f(t-a)).$

Eixemples

La teorema de desplaçament exponencial pot usar-se en casos específics per a accelerar el càlcul de derivades d'un orde més alt de funcions que estan donades pel producte d'una funció exponencial i una atra funció arbitrària. Per eixemple, si un té una funció de la forma:

$f(x)=\sin (x)e^x$ , llavors la seua tercera derivada pot calcular-se de la següent manera:

$D^{3}f=D^3(e^x\sin (x))=e^x(D+1{)}^3\sin (x)=e^x(D^3+3D^2+3D+1)\sin (x)=e^x(-\cos (x)-3\sin (x)+3\cos (x)+\sin (x))$

Una atra aplicació de la teorema de desplaçament exponencial és per a trobar les solucions generals d'equacions diferencials en coeficients constants de qualsevol orde, sobre la base de la construcció del polinomi característic basat en l'operador diferencial i després la ultilización de les raïls o zeros del mateix per a expressar la solució de l'equació com una combinació llineal de funcions exponencials en estes raïls multiplicades per la variable independent en l'exponent de cada una de les exponencials.