Teorema de densitat de Chebotariov

En matemàtiques, específicament en teoria d'número algebraico, la teorema de densitat de Chebotariov, que pren el seu nom de Nikolái Chebotariov, descriu estadísticament la descomposició dels número primo en una extensió de Galois $K$ donada en el cos $\mathbb{Q}$ dels número racional. En general, un sancer cosí es factorizará en varis cosins ideals en l'anell dels número entero algebraics $K$. Solament existix un número finito de patrons de descomposició possibles. Encara que la descripció completa de la divisió de cada primer $p$ en una extensió de Galois general és un problema important sense resoldre, la teorema de densitat de Chebotariov diu que la freqüència d'aparició d'un patró donat, per a tots els cosins $p$ menors que un sancer gran $N$, tendix a un cert llímit quan $N$ tendix a infinit. Chebotariov ho va demostrar en la seua tesis de 1922.

Un cas especial, més fàcil d'enunciar, establix que si $K$ és un cos d'número algebraico que és una extensió de Galois de $\mathbb{Q}$ de grau $n$, llavors els número primo que es dividixen completament en $K$ tenen una densitat $1/n$ entre tots els cosins. De forma més general, el comportament de divisió es pot especificar assignant a (casi) cada número primo un invariante, el seu element de Frobenius, que és un representant d'una classe de conjugació ben definit en el grup de Galois $\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})$. En este cas, la teorema afirma que la distribució asintòtica d'estos invariantes és uniforme sobre el grup, de modo que una classe de conjugació en $k$ elements apareix en una freqüència que tendix asintóticamente a $k/n$.

Història i motivació

Quan Carl Friedrich Gauss va introduir per primera volta la noció de sancers complexos $\mathbb{Z}[i]$, va observar que els número primo ordinaris poden factorizarse en este nou conjunt de sancers. Va distinguir tres casos: si un primer $p$ és congruent en 1 mod 4, llavors es factoriza en un producte de dos sancers gaussianos primers distints, o es dividix completament; si $p$ és congruent en 3 mod 4, llavors seguix sent primer, o és inerte; i si $p$ és 2, llavors es convertix en un producte del quadrat del primer Plantilla:Tmath i el sancer gaussiano invertible Plantilla:Tmath; i llavors es diu que 2 es ramifica. Per eixemple:

• $5=(1+2i)(1-2i)$ es dividix completament;
• $3$ és inerte
• $2=-i(1+i{)}^2$ es ramifica.

Segons esta descripció, en considerar cosins cada volta majors, la freqüència d'una divisió de cosins s'aproxima completament a $50\mathrm{\%}$, i lo mateixa ocorre en els cosins que permaneixen com a tals en $\mathbb{Z}[i]$. El teorema de Dirichlet sobre progressions aritmètiques demostra que açò és aixina. Encara que els número primo en sí mateixos apareixen de forma prou errática, la divisió dels cosins en l'extensió $\mathbb{Z}\subset \mathbb{Z}[i]$ seguix una llei estadística simple.

Lleis estadístiques similars també es complixen per a la divisió de cosins en extensions ciclotòmiques, obtingudes del camp dels número racional per mig de la concatenació d'una raïl de l'unitat primitiva d'un orde donat. Per eixemple, els cosins sancers ordinaris s'agrupen en quatre classes, cada una en provabilitat $25\mathrm{\%}$, segons el seu patró de divisió en l'anell de sancers corresponent a les raïls octaves de l'unitat. En este cas, l'extensió del cos té grau 4 i és abeliana, en el grup de Galois isomorfo al grup de Klein. Es va demostrar que el grup de Galois de l'extensió eixercita un paper fonamental en el patró de descomposició dels número primo. Ferdinand Georg Frobenius va establir el marc per a investigar este patró i va demostrar un cas particular de la teorema. L'afirmació general va ser demostrada per Nikolái Chebotariov en 1922.

Relació en la teorema de Dirichlet

La teorema de densitat de Chebotariov pot considerar-se una generalisació del teorema de Dirichlet sobre progressions aritmètiques. Una formulació quantitativa de la teorema de Dirichlet establix que si $n\ge 2$ és un sancer i $a$ és coprimo respecte a $n$, llavors la proporció de primers $p$ congruents en $a$ mòdul $n$ és asintòtica a $1/\varphi (n)$, a on $\varphi$ és la funció φ de Euler.

Est és un cas particular de la teorema de densitat de Chebotarev per a el $n$-ésimo cos ciclotòmic $K$. De fet, el grup de Galois de $K/\mathbb{Q}$ és abeliano i pot identificar-se canónicamente en el grup de classes de residus invertibles mòdul $n$. El invariante de descomposició d'un primer $p$ que no dividix a $n$ és simplement la seua classe residual, ya que el número de cosins distints en els que es descompon $p$ és $\varphi (n)/m$, a on $m$ és l'orde multiplicativo de $p$ mòdul $n$. Per lo tant, segons la teorema de densitat de Chebotariov, els cosins es distribuïxen asintóticamente de forma uniforme entre les diferents classes residuals coprimas en $n$.

Vore també

• Divisió d'ideals cosins en extensions de Galois
• Conjectura de la p-curvatura de Grothendieck-Katz

Bibliografia

• Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 322. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859. Zbl 0956.11021