Teorema de Green-Tao

En teoria de números, la teorema de Green-Tao, demostrat per Ben Green i Terence Tao en 2004, establix que la successió dels número primo conté seqüències de térmens en progressió aritmètica arbitrariamente llargues. En atres paraules, per a cada número natural k, existixen progressions aritmètiques de cosins en k térmens. La demostració és una extensió del teorema de Szemerédi. El problema es remonta a les investigacions de Joseph-Louis Lagrange i d'Edward Waring realisades al voltant de 1770.

Teorema de Green-Tao

Enunciat

Siga $\pi (N)$ el número de número primo menors o iguals que $N$. Si $A$ és un subconjunt dels número primo tal que

$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{|A\cap [1,N]|}{\pi (N)}>0$,

llavors, per a tots els número entero positius $k$, el conjunt $A$ conté infinites progressions aritmètiques de llongitut $k$. En particular, tot el conjunt de número primo conté progressions aritmètiques arbitrariamente llargues.

En el seu treball posterior sobre els número primo bessons generalisats, Green i Tao varen establir i varen provar condicionalmente la fòrmula asintòtica

$({𝔖}_k+o(1))\frac{N^2}{(\log N{)}^k}$

per al número de k-tuplas de número primo $p_1<p_2<\cdots <p_k\le N$ en progressió aritmètica. Ací, ${𝔖}_k$ és la constant

${𝔖}_k:=\frac{1}{2(k-1)}\left(\prod _{p\le k}\frac{1}{p}{\left(\frac{p}{p-1}\right)}^{k-1}\right)\left(\prod _{p>k}(1-\frac{k-1}{p}){\left(\frac{p}{p-1}\right)}^{k-1}\right).$

El resultat va passar a ser incondicional per mig de les aportacions de Green–Tao i de Green-Tao-Ziegler.

Resum de la demostració

La prova de Green i Tao té tres components principals:

1. El teorema de Szemerédi, que afirma que els subconjunts dels sancers en densitat superior positiva tenen progressions aritmètiques arbitrariamente llargues. No s'aplica a priori als número primo perque els número primo tenen densitat zero en els número entero.
2. Un principi de transferència que estén la teorema de Szemerédi a subconjunts dels número entero que són pseudoaleatorios en un sentit propi. Tal resultat ara es diu teorema relativa de Szemerédi.
3. Un subconjunt pseudoaleatorio dels sancers que contenen els número primo com un subconjunt dens. Per a construir este conjunt, Green i Tao varen utilisar idees del treball de Goldston, Pintz i Iıldırım sobre la diferència entre dos número primo consecutius. Una volta establida la pseudoaleatoriedad del conjunt, es pot aplicar el principi de transferència, completant la demostració.

S'han trobat numeroses simplificació a l'argument de l'artícul original.Conlon, Fox y Zhao (2014) proporciona una exposició moderna de la prova.

Vore també

• Conjectura de Erdős sobre progressions aritmètiques

• Teorema de Dirichlet sobre progressions aritmètiques
• Combinatoria aritmètica

Bibliografia

• Conlon, David; Fox, Jacob; Zhao, Yufei(2014).«The Green–Tao theorem: an exposition».EMS Surveys in Mathematical Sciences.1(2): 249–282.doi:10.4171/EMSS/6.
• Gowers, Timothy(2010).«Decompositions, approximate structure, transference, and the Hahn–Banach theorem».London Mathematical Society.42(4): 573–606.doi:10.1112/blms/bdq018.
• Green, Ben (2007). «Long arithmetic progressions of primes», Analytic number theory (vol. 7), Providence, RI: American Mathematical Society, pp. 149–167. ISBN 978-0-8218-4307-9.
• Host, Bernard(2006).«Progressions arithmétiques dans els nomenes premiers (d'après B. Green et T. Tao)».Astérisque.(307): 229–246.(en fr)
• Kra, Bryna(2006).«The Green–Tao theorem on arithmetic progressions in the primes: an ergodic point of view».Bulletin of the American Mathematical Society .43(1): 3–23.doi:10.1090/S0273-0979-05-01086-4.
• Tao, Terence(2006).«Arithmetic progressions and the primes».Collectanea Mathematica.Extra: 37–88.Consultat el 2015-06-05.
• Tao, Terence(2006).«Obstructions to uniformity and arithmetic patterns in the primes».Pure and Applied Mathematics Quarterly.2(2): 395–433.doi:10.4310/PAMQ.2006.v2.n2.a2.
• Tao, Terence (2008-01-07). «AMS lecture: Structure and randomness in the prime numbers».