Número primo en progressió aritmètica
En teoria de números, es denominen número primo en progressió aritmètica a qualsevol successió d'a lo manco tres número primo que són térmens consecutius en una progressió aritmètica. Un eixemple és la seqüència d'número primo (3, 7, 11), que està donada per per a .
Segons el teorema de Green-Tao, existixen seqüències arbitrariamente llargues d'número primo en progressió aritmètica. A voltes, la frase també es pot usar sobre número primo que pertanyen a una progressió aritmètica que també conté número compuesto. Per eixemple, es pot utilisar en número primo en una progressió aritmètica de la forma , a on a i b són coprimos que, segons el teorema de Dirichlet sobre progressions aritmètiques, contenen infinits número primo, ademés d'infinits composts.
Per a un número entero k = 3, una PA-k és qualsevol seqüència de k número primo en progressió aritmètica. Una PA-k es pot escriure com a k primers de la forma a·n + b, per a dos número entero fixos a (cridat diferència comuna) i b, i k valores sancers consecutius de n. Una PA-k (progressió aritmètica de k elements) generalment s'expressa en n = 0 a k − 1. Açò sempre es pot conseguir definint b com el primer número primo en la progressió aritmètica.
Propietats
[editar | editar còdic]Qualsevol progressió aritmètica donada d'número primo té una llongitut finita. En 2004, Ben J. Green i Terence Tao varen demostrar una antiga conjectura a través de la formalisació del teorema de Green-Tao: la successió dels número primo conté progressions aritmètiques arbitrariamente llargues.[1] Se seguix immediatament que hi ha infinites PA-k per a qualsevol k donat.
Si una PA-k no comença en el primer k, llavors la diferència comuna és un múltiple del primorial k# = 2·3·5·...·j, a on j és el major primer ≤ k.
- Demostració: Siga PA-k a·n + b per a k valores consecutius de n. Si una p primera no dividix a a, llavors l'aritmètica modular implica que p dividirà cada p-ésimo terme de la progressió aritmètica. (De H.J. Weber, Cor.10 en "Exceptional Prime Number Twins, Triplets and Multiplets", arXiv:1102.3075[math.NT]. Vore també Teor.2.3 en "Regularities of Twin, Triplet and Multiplet Prime Numbers", arXiv :1103.0447[math.NT], Global J.P.A.Math 8(2012), en prensa). Si la PA conté número primo per a valors consecutius de k, llavors a deu ser divisible per tots els primers p&li;k.
Açò també demostra que una PA en diferència comuna a no pot contindre més térmens primers consecutius que el valor del cosí més chicotet que no dividix a a.
Si k és primer llavors una PA-k pot començar en k i tindre una diferència comuna que és solament un múltiple de (k+1)# en lloc de k#. (De H. J. Weber, "Less Regular Exceptional and Repeating Prime Number Multiplets", arXiv:1105.4092[math.NT], Sect.3.) Per eixemple, la PA-3 en número primo 3, 5, 7 i diferència comuna 2# = 2, o la PA-5 en cosins 5, 11, 17, 23, 29 i diferència comuna 4# = 6. Es conjectura que tals eixemples existixen per a tots els primers k Plantilla:A data de, el major primer per al que açò es confirma és k = 19, per a esta PA-19 trobada per Wojciech Izykowski en 2013:
- 19 + 4244193265542951705·17#·n, per a n = 0 a 18.
Es deduïx de conjectura àmpliament acceptades, com la conjectura de Dickson i algunes variants de la conjectura de la k-tupla de cosins, que si p > 2 és el cosí més chicotet que no dividix a a, llavors hi ha infinites PA-(p+1) en diferència comuna a. Per eixemple, 5 és l'número primo més chicotet que no dividix a 6, per lo que s'espera que hi haja un número infinit de PA-4 en una diferència comuna de 6, lo que es denomina cuadruplete de número primo sexis. Quan a = 2 i p = 3, llavors es tracta de primers bessons, en una PA-2 formada per dos cosins (b, b + 2).
Menors primers en progressió aritmètica
[editar | editar còdic]En la taula següent figuren aquelles progressions aritmètiques de k térmens l'últim terme dels quals és el més menut.[2]
| k | Cosins per a n= 0 fins a k−1 |
|---|---|
| 3 | 3 + 2n |
| 4 | 5 + 6n |
| 5 | 5 + 6n |
| 6 | 7 + 30n |
| 7 | 7 + 150n |
| 8 | 199 + 210n |
| 9 | 199 + 210n |
| 10 | 199 + 210n |
| 11 | 110437 + 13860n |
| 12 | 110437 + 13860n |
| 13 | 4943 + 60060n |
| 14 | 31385539 + 420420n |
| 15 | 115453391 + 4144140n |
| 16 | 53297929 + 9699690n |
| 17 | 3430751869 + 87297210n |
| 18 | 4808316343 + 717777060n |
| 19 | 8297644387 + 4180566390n |
| 20 | 214861583621 + 18846497670n |
| 21 | 5749146449311 + 26004868890n |
Vore també
[editar | editar còdic]- Cadena de Cunningham
- Teorema de Szemerédi
- PrimeGrid
- Problemes sense resoldre en progressions aritmètiques
Referències
[editar | editar còdic]- ↑ (2008).«The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions».Annals of Mathematics.167(2)
- 481–547.doi:10.4007/annals.2008.167.481.
- ↑ OEIS sequence A133277
Bibliografia
[editar | editar còdic]Chris Caldwell, El glossari principal: seqüència aritmètica, [enllaç trencat] i Els vint principals: número primo consecutius en aritmètica Progressió, tot des del Prime Pages.
- Prime Arithmetic Progression en MathWorld.
- Jaroslaw Wróblewski, ¿Cóm buscar 26 número primo en progressió aritmètica?
- P. Erdős i P. Turán, Sobre algunes successions d'número entero, J. London Math. Soc. 11 (1936), 261264.
Referències
[editar | editar còdic]
- Este artícul conté una traducció derivada de «Números primos en progresión aritmética» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.