Teorema de Ehrenfest

Archiu:Start of derivation of Ehrenfests theorem (1961608283).jpg

Teorema de Ehrenfest

La teorema de Ehrenfest és un teorema amprat en mecànica quàntica que relaciona la derivada temporal del valor esperat d'un operador hermítico en el valor esperat del commutador de tal operador en el hamiltoniano.

La teorema va ser enunciada en 1927 pel físic austríac Paul Ehrenfest (1880–1933).

Enunciat de la teorema

Siga A un operador llineal, H l'operador hamiltoniano del sistema i $\Psi$ una funció d'ona, es té llavors que:

$\frac{d}{dt}⟨A⟩=-\frac{i}{\hslash }⟨[A,H]⟩$

sent $⟨A⟩=⟨\Psi |A|\Psi ⟩⟨[A,H]⟩=⟨\Psi |[A,H]\Psi ⟩[A,H]=AH-HA$

En cas que A depenga del temps l'expressió queda:

$\frac{d}{dt}⟨A⟩=-\frac{i}{\hslash }⟨[A,H]⟩+⟨\frac{\partial A}{\partial t}⟩$.

A voltes A no depén explícitament del temps. En este cas l'últim terme resulta nul.

Demostració

Siga A un operador llineal, la derivada temporal del seu valor esperat serà:

Ya que la funció d'onas complix l'equació de Schrödinger es té que:

$i\hslash \frac{\partial \Psi }{\partial t}=H\Psi$

Substituint la derivada temporal per l'acció del operador hamiltoniano i amprant la hermiticidad d'este últim tenim que:

O expressat en forma més compacta:

$\frac{d}{dt}⟨A⟩=-\frac{i}{\hslash }⟨[A,H]⟩+⟨\frac{\partial A}{\partial t}⟩$