Teorema d'equivalència de Lax

En anàlisis numèric, la «teorema d'equivalència de Lax» és una teorema fonamental en l'anàlisis de métodos de diferències finitas llineals per a la solució numèrica d'equacions diferencials parcials llineals. Establix que, per a un consistent per a un problema llineal de valor inicial ben plantejat, el método és convergent si i solament si és estable si, i solament si, és estable.

L'importància de la teorema radica que, si ben lo desijable és que la solució del método de diferències finitas llineals convergixca en la solució de l'equació diferencial parcial llineal, açò sol ser difícil d'establir, ya que el método numèric es definix per mig d'una relació de recurrencia, mentres que l'equació diferencial implica una funció diferenciable. No obstant, la consistència —el requisit de que el método de diferències finitas llineals s'aproxime a l'equació diferencial parcial llineal correcta— és fàcil de verificar, i l'estabilitat sol ser molt més fàcil de demostrar que la convergència (i seria necessària en qualsevol cas per a demostrar que l'error de grosseig no destruirà el càlcul). Per lo tant, la convergència es demostra normalment per mig de la teorema d'equivalència de Lax.

L'estabilitat en este context significa que una norma matricial de la matriu utilisada en la iteración és com a màxim l'unitat, lo que es denomina estabilitat (pràctica) de Lax-Richtmyer. A sovint, per comoditat, se substituïx per un anàlisis d'estabilitat de Von Neumann, encara que l'estabilitat de von Neumann solament implica l'estabilitat de Lax-Richtmyer en determinats casos.

Esta teorema es deu a Peter Lax. A voltes se li denomina «teorema de Lax-Richtmyer», en honor a Peter Lax i Robert D. Richtmyer.