Tensor de no metricidad

En matemàtiques, el tensor de no-metricidad en geometria diferencial és la derivada covariant del tensor mètric. És, per tant, un camp tensorial d'orde 3. Es fa zero per a la geometria Riemanniana.

Per components, es pot definir fàcilment com seguix.

$Q_{\mu \alpha \beta }={\mathrm{\nabla }}_{\mu }{g}_{\alpha \beta }$

Este tensor medix la taxa de canvi de les components d'un tensor mètric a lo llarc d'un fluix d'un cert camp vectorial, ya que

${\mathrm{\nabla }}_{\mu }\equiv {\mathrm{\nabla }}_{{\partial }_{\mu }}$

a on $\{{\partial }_{\mu }{\}}_{\mu =0,1,2,3}$ és la base coordenada de camps vectorials de la varietat, en el cas de que siga 4-dimensioal. Es diu que una conexió $\Gamma$ és compatible en la mètrica quan la derivada covariant que té associada, actuant sobre el tensor mètric, (cridem-ho ${\mathrm{\nabla }}^{\Gamma }$, per eixemple) s'anula, i.i.

$\underset{\mu }{\overset{\Gamma }{\mathrm{\nabla }}}{g}_{\alpha \beta }=0$

Si la conexió és també lliure de torsió (i.i. totalment simètrica) es coneix com la conexió de Levi-Civita, la qual és l'única conexió sense torsió que ademés és compatible en la mètrica. Des d'un punt de vista geomètric, el fet de que el tensor de no-metricidad no s'anule per a una certa mètrica $g$ implica que el mòdul d'un cert vector definit sobre l'espai tangente a la varietat en un punt $p$, canvia quan este és valuado a lo llarc de la direcció (fluix) d'un atre vector arbitrari.