Tensor d'energia-impulse electromagnètic

En física relativista, el tensor d'energia-impulse electromagnètic és la contribució al tensor d'energia-impulse pel camp electromagnètic. El tensor descriu el fluix d'energia i moment electromagnètic en espai-temps. En particular, este tensor conté el tensor de tensió de Maxwell clàssic que governa les interaccions electromagnètiques.

Definició

Unitats SI

En espai pla les unitats del tensor són:

$T^{\mu \nu }=\frac{1}{{\mu }_0}[F^{\mu \alpha }{F}^{\nu }{}_{\alpha }-\frac{1}{4}{\eta }^{\mu \nu }{F}_{\alpha \beta }{F}^{\alpha \beta }].$

On $F^{\mu \nu }$ és el tensor electromagnètic i a on ${\eta }_{\mu \nu }$ és el tensor mètric de Minkowski de firma mètrica (−+++). Quàn s'utilisa la mètrica en firma (+−−−), l'expressió per a $T^{\mu \nu }$ tindrà signe opost.

Explícitament en forma matricial:

$T^{\mu \nu }=\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{2}({ϵ}_0{E}^2+\frac{1}{{\mu }_0}{B}^2)& S_{\text{x}}/c& S_{\text{y}}/c& S_{\text{z}}/c\\ S_{\text{x}}/c& -{\sigma }_{xx}& -{\sigma }_{\text{xy}}& -{\sigma }_{\text{xz}}\\ S_{\text{y}}/c& -{\sigma }_{yx}& -{\sigma }_{\text{yy}}& -{\sigma }_{\text{yz}}\\ S_{\text{z}}/c& -{\sigma }_{zx}& -{\sigma }_{\text{zy}}& -{\sigma }_{\text{zz}}\end{array}\right],$

On

$𝐒=\frac{1}{{\mu }_0}𝐄\times 𝐁,$

És el vector de Poynting,

${\sigma }_{ij}={ϵ}_0{E}_i{E}_j+\frac{1}{{\mu }_0}{B}_i{B}_j-\frac{1}{2}({ϵ}_0{E}^2+\frac{1}{{\mu }_0}{B}^2){\delta }_{ij}$

És el tensor de tensió de Maxwell, i c és la velocitat de la llum. Aixina, $T^{\mu \nu }$ està expressat i medit en SI unitats de pressió (pascals).

Unitats CGS

La permitividad elèctrica i permeabilidad magnètica de l'espai lliures en les unitats CGS-Gaussianas són

${ϵ}_0=\frac{1}{4\pi },{\mu }_0=4\pi$

Per tant:

$T^{\mu \nu }=\frac{1}{4\pi }[F^{\mu \alpha }{F}^{\nu }{}_{\alpha }-\frac{1}{4}{\eta }^{\mu \nu }{F}_{\alpha \beta }{F}^{\alpha \beta }].$

I en forma matricial explícita:

$T^{\mu \nu }=\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{8\pi }(E^2+B^2)& S_{\text{x}}/c& S_{\text{y}}/c& S_{\text{z}}/c\\ S_x/c& -{\sigma }_{\text{xx}}& -{\sigma }_{\text{xy}}& -{\sigma }_{\text{xz}}\\ S_{\text{y}}/c& -{\sigma }_{\text{yx}}& -{\sigma }_{\text{yy}}& -{\sigma }_{\text{yz}}\\ S_{\text{z}}/c& -{\sigma }_{\text{zx}}& -{\sigma }_{\text{zy}}& -{\sigma }_{\text{zz}}\end{array}\right]$

On el vector de Poynting  s'expressa com:

$𝐒=\frac{c}{4\pi }𝐄\times 𝐁.$

El tensor d'energia–impulse per a un camp electromagnètic en un mig dielèctric és menys ben entés i és el tema de la controvèrsia Abraham–Minkowski encara irresoluta.

L'element $T^{\mu \nu }$ del tensor d'impuls-energia representa el fluix de el μ-ésimo component del quatre-moment del camp electromagnètic, $P^{\mu }$, passant per un hiperplano ($x^{\nu }$ és constant). Representa la contribució d'electromagnetisme a la font del camp gravitacional (curvatura d'espai–temps) en la relativitat general.

Propietats algebraiques

El tensor d'energia-impulse electromagnètic té vàries propietats algebraiques:

• És un tensor simètric:

$T^{\mu \nu }=T^{\nu \mu }$

• El tensor $T^{\nu }{}_{\alpha }$ és de traça zero: :$T^{\alpha }{}_{\alpha }=0$.

• La densitat d'energia està definida positivament:

$T^{00}\ge 0$

La simetria del tensor és comú a qualsevol tensor d'impuls-energia de la relativitat general, la traça zero es deu a que el fotó carix de massa.

Vore també

• Càlcul de Ricci
• Formulació covariant de l'electromagnetisme clàssic
• Descripcions matemàtiques del camp electromagnètic
• Les equacions de Maxwell
• Les equacions de Maxwell en espai-temps curve
• Relativitat general
• Equacions de camp de l'Einstein
• Magnetohidrodinámica
• Càlcul vectorial