Tensor de Maxwell

El tensor de Maxwell o tensor de tensions de Maxwell (cridat aixina en honor de James Clerk Maxwell) és un tensor de segon ranc utilisat en electromagnetisme clàssic per a representar l'interacció entre les forces elèctrica/magnètica i l'impuls mecànic. En situacions simples, tals com una càrrega elèctrica movent-se lliurement en un camp magnètic homogéneu, és fàcil calcular les forces sobre la càrrega a partir de la llei de la força de Lorentz. Quan la situació es torna més complicada, este procediment ordinari pot convertir-se en increiblement difícil, en equacions que comprenen vàries llínees. Per tant, és convenient arreplegar molts d'estos térmens en el tensor de tensions de Maxwell, i utilisar l'aritmètica de tensors per a trobar la resposta al problema que nos ocupa.

Es definix com:

${\sigma }_{ij}={ϵ}_0(E_i{E}_j-\frac{1}{2}{\delta }_{ij}{E}^2)+\frac{1}{{\mu }_0}(B_i{B}_j-\frac{1}{2}{\delta }_{ij}{B}^2)$

A on $E_k$ és la component k-ésima i ${\delta }_{ij}$ és la delta de Kronecker.

Motivació

Força de Lorentz (per unitat de volum tridimensional) f sobre una distribució de càrrega contínua (densitat de càrrega ρ) en moviment. La densitat de corrent tridimensional J es correspon en el moviment de l'element de càrrega dq en l'element de volum dV i varia a través del continu.

Com vorem a continuació, les forces electromagnètiques s'escriuen en térmens de I (camp elèctric) i B (camp magnètic).

Usant identitats de càlcul vectorial i les equacions de Maxwell, es busca escriure la llei de força de Lorentz de manera simètrica en els térmens que contenen I i B, i introduint el tensor de tensions de Maxwell, el resultat se simplifica.

Equacions de Maxwell en unitats SI en el buit
(per a referència)

Nom	Format diferencial
Llei de Gauss (en el buit)	$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄=\frac{\rho }{{ϵ}_0}$
Llei de Gauss del magnetisme	$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁=0$
Equació de Maxwell–Faraday (llei de Faraday de l'inducció)	$\mathrm{\nabla }\times 𝐄=-\frac{\partial 𝐁}{\partial t}$
Llei de Ampère del circuit (en el buit) (en la correcció de Maxwell)	$\mathrm{\nabla }\times 𝐁={\mu }_0𝐉+{\mu }_0{ϵ}_0\frac{\partial 𝐄}{\partial t}$

1. Escomençant en la llei de la força de Lorentz

   $𝐟=q(𝐄+𝐯\times 𝐁)$

   la força per unitat de volum per a una distribució de càrrega desconeguda és

   $𝐟=\rho 𝐄+𝐉\times 𝐁$

2. Després, ρ i J poden ser reemplaçats pels camps I i B, usant la llei de Gauss i la llei de Ampère (de la taula de dalt):

   $𝐟={ϵ}_0(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄)𝐄+\frac{1}{{\mu }_0}(\mathrm{\nabla }\times 𝐁)\times 𝐁-{ϵ}_0\frac{\partial 𝐄}{\partial t}\times 𝐁$

3. La derivada temporal es pot reescriure de modo que puga ser interpretada físicament, a saber, el vector de Poynting. Usant la regla del producte i llei d'inducció de Faraday nos queda

   $\frac{\partial }{\partial t}(𝐄\times 𝐁)=\frac{\partial 𝐄}{\partial t}\times 𝐁+𝐄\times \frac{\partial 𝐁}{\partial t}=\frac{\partial 𝐄}{\partial t}\times 𝐁-𝐄\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐄)$

   i podem reescriure f com

   $𝐟={ϵ}_0(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄)𝐄+\frac{1}{{\mu }_0}(\mathrm{\nabla }\times 𝐁)\times 𝐁-{ϵ}_0\frac{\partial }{\partial t}(𝐄\times 𝐁)-{ϵ}_0𝐄\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐄)$,

   després agrupant térmens en I i B queda

   $𝐟={ϵ}_0[(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄)𝐄-𝐄\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐄)]+\frac{1}{{\mu }_0}[-𝐁\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐁)]-{ϵ}_0\frac{\partial }{\partial t}(𝐄\times 𝐁)$.

4. Un terme sembla estar "absent" de la simetria en I i B, lo que es pot conseguir insertant (∇ • B)B per la llei de gauss per al camp magnètic:

   $𝐟={ϵ}_0[(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄)𝐄-𝐄\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐄)]+\frac{1}{{\mu }_0}[(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁)𝐁-𝐁\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐁)]-{ϵ}_0\frac{\partial }{\partial t}(𝐄\times 𝐁)$.

   Eliminant els rotacionales (que són prou complicats de calcular), usant l'identitat vectorial:

   $\frac{1}{2}\mathrm{\nabla }(𝐀\cdot 𝐀)=𝐀\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)+(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐀$,

   nos du a:

   $𝐟={ϵ}_0[(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄)𝐄+(𝐄\cdot \mathrm{\nabla })𝐄]+\frac{1}{{\mu }_0}[(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁)𝐁+(𝐁\cdot \mathrm{\nabla })𝐁]-\frac{1}{2}\mathrm{\nabla }({ϵ}_0{E}^2+\frac{1}{{\mu }_0}{B}^2)-{ϵ}_0\frac{\partial }{\partial t}(𝐄\times 𝐁)$.

5. Esta expressió conté tots els aspectes de l'electromagnetisme i el moment, i és relativament fàcil de calcular. Es pot escriure de forma més compacta presentant el tensor de tensions de Maxwell,

   ${\sigma }_{ij}\equiv {ϵ}_0(E_i{E}_j-\frac{1}{2}{\delta }_{ij}{E}^2)+\frac{1}{{\mu }_0}(B_i{B}_j-\frac{1}{2}{\delta }_{ij}{B}^2)$,

   de tal modo que la força $𝐟$ siga exactament la divergència de $𝝈$ més l'últim terme:

   $𝐟=\mathrm{\nabla }\cdot 𝝈-{ϵ}_0\frac{\partial }{\partial t}(𝐄\times 𝐁)$,

   Finalment, en introduir el vector de Poynting, $𝐒=\frac{1}{{\mu }_0}𝐄\times 𝐁$, obtenim

   $𝐟=\mathrm{\nabla }\cdot 𝝈-{ϵ}_0{\mu }_0\frac{\partial 𝐒}{\partial t}$.

   Ha segut demostrat recentment que el tensor de Maxwell és la part real d'un tensor complex més general la part imaginària del qual descriu les forces electrodinàmiques reactives.