Squircle

Un círcul quadrat (en anglés squircle, acrònim de square i circle) és una forma intermija entre un quadrat i un círcul. Existixen a lo manco dos definicions de 'squircle' en us, la més comuna de les quals es basa en la superelipse. Els squircles s'han aplicat en disseny i òptica.

Squircle basat en superelipse

En el sistema de coordenades cartesianas, la superelipse es definix per mig de l'equació

{| \frac{x - a}{r_{a}} |}^{n} + {| \frac{y - b}{r_{b}} |}^{n} = 1,

a on $r a$ i $r b$ són el Semieix major i el menor, $a$ i $b$ són les coordenades $x$ i $i$ del centre de la elipse i i $n$ és un número positiu. El squircle es definix llavors com la superelipse en $r a = r b$ i $n = 4$ . La seua equació és:^[1]

{(x - a)}^{4} + {(y - b)}^{4} = r^{4}

a on $r$ és el radi menor del squircle. Compare's açò en l'equació d'una circumferència. Quan el squircle està centrat en l'orige, llavors $a = b = 0$ , i es denomina cuártico especial de Lamé.

L'àrea dins del squircle es pot expressar en térmens de la funció gamma $Γ(x)$ com^[1]

A = 4 r^{2} \frac{{(Γ (1 + \frac{1}{4}))}^{2}}{Γ (1 + \frac{2}{4})} = \frac{8 r^{2} {(Γ (\frac{5}{4}))}^{2}}{\sqrt{π}} = ϖ \sqrt{2} r^{2} \approx 3.708149 r^{2},

a on $r$ és el radi menor del squircle, i $ϖ$ és la constant de la lemniscata.

Notació norma p

En térmens de norma p $‖ \cdot ‖ p$ en $ℝ 2$ , el squircle es pot expressar com:

{‖ 𝐱 - 𝐱_{c} ‖}_{p} = r

a on $p = 4$ , $x c = (a, b)$ és el vector que denota el centre del squircle, i $x = (x, i)$ . Efectivament, açò seguix sent una espècie de círcul de punts a una distància $r$ del centre, pero la distància es definix de manera diferent. A modo de comparació, el círcul habitual és el cas $p = 2$ , mentres que el quadrat està donat pel cas $p \to \infty$ (la norma del suprem), i un quadrat girat està donat per $p = 1$ (la norma del taxiste). Açò permet una generalisació senzilla a una gaveta esfèrica, o sphube, en $ℝ 3$ , o hipersphubes en dimensions superiors.^[2]

Squircle de Fernández-Guasti

Un atre problema prové del treball en òptica.^[3] Se li pot cridar el squircle de Fernández-Guasti, en honor a un dels seus autors, per a distinguir-la del relacionat en la superelipse anterior.^[2] Este tipo de squircle, centrat en l'orige, es pot definir per mig de l'equació:

x^{2} + y^{2} - \frac{s^{2}}{r^{2}} x^{2} y^{2} = r^{2}

a on $r$ és el menor ràdio del squircle, $s$ és el paràmetro de quadratura, i $x$ i $i$ són en l'interval $[- r, r]$ . Si $s = 0$ , l'equació és un círcul; si $s = 1$ , est és un quadrat. Esta equació permet una parametrisació suau de la transició d'un círcul a un quadrat, sense involucrar al infinit.

Vore també

Referències

↑ ^1,0 ^1,1 Squircle en MathWorld.
↑ ^2,0 ^2,1 (2016).«Squircular Calculations».
↑ (1992).«Analytic Geometry of Some Rectilinear Figures».Int. J. Educ. Sci. Technol..23
895–901.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Squircle» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[Weisstein-1] 1,0 ^1,1 Squircle en MathWorld.

[fong-2] 2,0 ^2,1 (2016).«Squircular Calculations».

[3] (1992).«Analytic Geometry of Some Rectilinear Figures».Int. J. Educ. Sci. Technol..23
895–901.

[1]

[2]

[3]