Sistema hamiltoniano superintegrable

En matemàtiques, un sistema hamiltoniano superintegrable és un sistema hamiltoniano en una varietat simpléctica de dimensió $2n$ en el que es complixen les següents condicions:

(i) Existixen $k>n$ integrals de moviment $F_i$ independents. Les seues superfícies de nivell (subvariedades invariantes) formen una varietat fibrada $F:Z\to N=F(Z)$ sobre un subconjunt obert i conexo $N\subset {ℝ}^k$.

(ii) Existixen funcions reals diferenciables $s_{ij}$ en $N$ tals que el corchete de Poisson de les integrals de moviment s'expressa com $\{F_i,F_j\}=s_{ij}\circ F$.

(iii) La funció matricial $s_{ij}$ és de corrango constant $m=2n-k$ en $N$.

Si $k=n$, el sistema és completament integrable. El teorema de Mishchenko-Fomenko per a sistemes hamiltonianos superintegrables generalisa el teorema de Liouville-Arnold per a les coordenades d'acció-àngul en sistemes completament integrables com seguix.

Supongam que les subvariedades invariantes d'un sistema hamiltoniano superintegrable són conexas i mútuament difeomorfas. Llavors la varietat fibrada $F$ és un fibrado en el bou $T^m$. Existix un entorn obert $U$ de $F$ que és un fibrado trivial dau en les coordenades d'acció-àngul generalisades $(I_A,p_i,q^i,{\varphi }^A)$, $A=1,\dots ,m$, $i=1,\dots ,n-m$ tal que $({\varphi }^A)$ són coordenades en $T^m$. Estes coordenades són les coordenades de Darboux en una varietat simpléctica $U$. El hamiltoniano d'un sistema superintegrable solament depén de les variebles d'acció $I_A$ que són les funcions de Casimir de l'estructura de Poisson coinducida en $F(U)$.

La teorema de Liouville-Arnold per a sistemes completament integrables i la teorema de Mishchenko-Fomenko per als superintegrables es generalisen al cas de subvariedades invariantes no compactes, que són difeomorfas al cilindre toroidal $T^{m-r}\times {ℝ}^r$.

Vore també

• Sistema hamiltoniano integrable
• Coordenades d'acció-àngul
• Mecànica de Nambu
• Vector de Runge-Lenz

Referències

• Mishchenko, A., Fomenko, A., Generalized Liouville method of integration of Hamiltonian systems, Funct. Anal. Appl. 12 (1978) 113. doi:10.1007/BF01076254
• Bolsinov, A., Jovanovic, B., Noncommutative integrability, moment map and geodesic flows, Ann. Global Anal. Geom. 23 (2003) 305; Plantilla:Arxiv.
• Fasso, F., Superintegrable Hamiltonian systems: geometry and perturbations, Acta Appl. Math. 87(2005) 93. doi:10.1007/s10440-005-1139-8
• Fiorani, E., Sardanashvily, G., Global action-angle coordinates for completely integrable systems with senar-compact invariant manifolds, J. Math. Phys. 48 (2007) 032901; Plantilla:Arxiv.
• Miller, W., Jr, Post, S., Winternitz P., Classical and quàntum superintegrability with applications, J. Phys. A 46 (2013), no. 42, 423001, doi:10.1088/1751-8113/46/42/423001 Plantilla:Arxiv
• Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., Geometric Methods in Classical and Quàntum Mechanics (World Scientific, Singapore, 2010) ISBN 978-981-4313-72-8; ^{[enllaç trencat]}.