Simetria especular (teoria de cordes)

Nivells d'aument de la matèria:

1. Matèria.
2. Estructura molecular.
3. Àtoms.
4. Electrons.
5. Quarks.
6. Cuerdo.

En geometria algebraica i física teòrica, la simetria especular és una relació entre objectes geomètrics cridats varietats de Calabi-Yau. El terme s'usa quan dos varietats de Calabi-Yau tenen un aspecte geomètricament molt diferent, pero no obstant són equivalents quan s'ampren com dimensions extres de la teoria de cordes.

Físics com Philip Caneles, Gary Horowitz, Andrew Strominger, Edward Witten, Brian Greene, Ronen Plesser, Monika Lynker i Rolf Schimmrigk, entre uns atres, varen descobrir originalment la simetria especular en este context particular. Els matemàtics varen començar a interessar-se en esta relació en 1990, quan Philip Caneles, Xenia de la Ossa, Paul Green i Lindo Parkes varen mostrar que podia ser utilisada com una ferramenta en la geometria enumerativa, una branca de les matemàtiques que s'ocupa de contar el número de solucions a qüestions geomètriques. Caneles i els seus colaboradors varen descobrir que l'aplicació de la simetria especular podia servir per a contar les curves racionals en una varietat de Calabi-Yau, resolent aixina un problema de llarga duració. Encara que originalment el concepte de simetria especular es va basar en idees físiques sense una formulació matemàticament precisa, també en el camp de la ciència mencionada en últim lloc algunes de les seues prediccions s'han provat rigorosament des de llavors.

La simetria especular és un important tema d'investigació en les matemàtiques pures. L'objectiu principal dels treballs en este camp és desenrollar una comprensió en térmens matemàtics de la relació, basada inicialment en l'intuïció física. La simetria especular és també una ferramenta fonamental per a fer càlculs en la teoria de cordes i s'ha utilisat per a entendre certs aspectes de la teoria quàntica de camps, el formalisme que els físics utilisen per a descriure partícules elementals. Entre les principals idees per a entendre la simetria especular s'inclouen la conjectura de simetria especular homológica de Maksim Kontsévich i la conjectura SYZ d'Andrew Strominger, Shing-Tung Yau i Eric Zaslow.

Context general previ

Cuerdo i compactación

Artícul principal → Teoria d'cuerdo.

A wavy open segment and closed loop of string.

Els objectes fonamentals de la teoria de cordes són cuerdo obertes i tancades.

En física, la teoria de cordes és un marc teòric en el que les partícules assimilades a punts de la física de partícules se substituïxen per objectes unidimensionals cridats cordes. Estes cordes es visualisen com a menuts segments o bucles de corda ordinària. La teoria de cordes descriu cóm les cordes es propaguen a través de l'espai i interactuen entre sí. A escales molt majors que la de la corda, esta es vorà com una partícula ordinària, en la seua massa, càrrega i atres propietats determinades per l'estat de vibració de la corda. Les interaccions entre partícules, explicades convencionalment com a processos d'emissió i absorció d'estes, es descriuen baix el nou plantejament com la divisió i recombinació de cordes.

Hi ha diferències notables entre el món descrit per la teoria de cordes i el món quotidià. En la vida diària, hi ha tres dimensions espacials conegudes —dalt/avall, esquerra/dreta i alvance/arrere— i una dimensió de temps ―despuix/abans―. Aixina, en el llenguage de la física moderna, es diu que l'espai-temps és de quatre dimensions o cuatridimensional. Una de les característiques peculiars de la teoria de cordes és que requerix dimensions adicionals per a la seua consistència matemàtica. En la versió que incorpora un plantejament hipotètic cridat supersimetría a la teoria de supercuerdas, hi ha sis dimensions espacials adicionals ademés de les quatre conegudes, donant lloc a un espai-temps de dèu dimensions.

Un dels objectius de l'investigació en la teoria de cordes és el desenroll de models consistents en les propietats de les partícules observades en experiments de física d'alta energia. ya que el seu espai-temps deu ser de quatre dimensions a l'escala de l'experiment, es deu buscar la manera de restringir les dimensions adicionals a escales més menudes. En els models més realistes basats en la teoria de cordes, açò es conseguix per mig d'un procés cridat compactación, en el que se supon que les dimensions extra es curven sobre sí mateixes per a formar círculs. En el llímit, a on estes dimensions enroscadas apleguen a ser molt menudes, s'obté un model en el que l'espai-temps té, a efectes pràctics, un menor número de dimensions. Una analogia comuna per a visualisar esta situació és considerar un objecte multidimensional com una mànega de jardí. Si la mànega s'observa a certa distància, sembla tindre només una dimensió, la seua llongitut. No obstant, a mida que l'observador s'acosta a ella, descobrix que posseïx una segona dimensió, la seua circumferència. Per tant, una formiga caminant en la superfície de la mànega es mouria en dos dimensions.

Varietats de Calabi-Yau

Artícul principal → Varietat de Calabi-Yau.

Visualization of a complex mathematical surface with many convolutions and self intersections.

Una secció travessera d'una varietat de Calabi-Yau de quint grau.

La compactación pot ser utilisada per a construir models en els que, a efectes pràctics, l'espai-temps és de quatre dimensions. No obstant, no totes les formes d'compactar les dimensions extra produïxen un model en les propietats adequades per a descriure el món natural que observem. Per a obtindre un model viable, les dimensions compactar deuen formar una varietat de Calabi-Yau. Esta varietat és un espai especial que es considera generalment de sis dimensions en aplicacions a la teoria de cordes. Rep el seu nom dels matemàtics Eugenio Calabi i Shing-Tung Yau.

Quan les varietats de Calabi-Yau varen entrar en la física d'cuerdo com una forma d'compactar dimensions adicionals, varen començar a despertar interés en l'àmbit de la física. A finals de la década de 1980, Llance Dixon, Wolfgang Lerche, Cumrun Vafa i Nick Warner varen notar que per a una compactación donada de la teoria de cordes, no era possible reconstruir de forma única la corresponent varietat de Calabi-Yau. En canvi, en dos versions diferents conegudes com teoria de cordes de tipo IIA i tipo IIB, les dimensions poden ser compactar en varietats de Calabi-Yau completament diferents, que donen lloc a les mateixes propietats físiques. En esta situació, reben el nom de varietats especulares, i la relació entre les dos teories físiques es denomina simetria especular.

La relació de simetria especular és un eixemple particular de lo que els físics criden una dualitat. En general, este terme es referix a una situació en la que dos teories físiques aparentment diferents resulten ser equivalents en una forma no trivial. Si una hipòtesis es pot transformar per a assemblar-la a una atra teoria, es diu que són duals en virtut d'eixa transformació. Aixina que, les dos conjectura són descripcions matemàticament diferents dels mateixos fenomens. Estes dualidades juguen un paper important en la física moderna, sobretot en la teoria de cordes.

Independentment de que les compactación Calabi-Yau de la teoria de cordes proporcionen una descripció correcta de la naturalea, l'existència de la dualitat especular entre les diferents teories de cordes té conseqüències d'interés per a les matemàtiques pures. Per eixemple, la simetria especular permet als experts resoldre problemes en la geometria algebraica enumerativa, una branca de les matemàtiques que s'ocupa de contar el número de solucions a les qüestions geomètriques. Un problema clàssic de la geometria enumerativa és enumerar les curves racionals en una varietat Calabi-Yau. Per mig de l'aplicació de la simetria especular, el problema es planteja en una varietat Calabi-Yau diferent, a on és més fàcil de resoldre.

En la teoria de cordes, la simetria especular es justifica en un raonament basat en la física. No obstant, els matemàtics generalment requerixen proves rigoroses que no necessiten d'una apelació a l'intuïció física. Des d'un punt de vista matemàtic, la versió de la simetria especular descrita anteriorment és encara solament una conjectura, pero hi ha una atra versió d'esta en el context de la teoria de cordes topològica, una variant simplificada de la teoria de cordes introduïda per Edward Witten, que ha segut detalladament comprovada pels matemàtics. En el context de la teoria de cordes topològica, la simetria especular establix que dos teories anomenades model A i modele B són equivalents en el sentit de que hi ha una dualitat que les relaciona. Des de la postulació de la seua existència, la simetria especular és un àrea activa d'investigació en matemàtiques, en l'objectiu de desenrollar una formulació més completa i exacta d'esta a partir del concepte físic.

Història

L'idea de la simetria especular es remonta a mitan de la década de 1980, quan es va descobrir que una cuerdo propagant-se en un círcul de radi $R$ és físicament equivalent a una propagant-se en un círcul de radi $1/R$. Este fenomen es coneix ara com dualitat T i es considera que està estretament relacionat en la simetria especular. En un artícul de 1985, Philip Caneles, Gary Horowitz, Andrew Strominger i Edward Witten varen mostrar que en compactar la teoria de cordes en una varietat Calabi-Yau, s'obté una hipòtesis més o menys similar a la del model estàndar de física de partícules, que també incorpora sistemàticament una idea anomenada supersimetría. A raïl d'este desenroll, molts físics varen començar a estudiar les compactación Calabi-Yau, en l'esperança de construir models realistes de la física de partícules basats en la teoria de cordes. Cumrun Vafa, entre uns atres, va notar que no és possible reconstruir únicament una varietat de Calabi-Yau a partir d'unes condicions físiques, sino que hi ha dos d'estes varietats consistents en el model donat.

Per mig de l'estudi de la relació entre les varietats de Calabi-Yau i certes teories conformes de camps, conegudes com a models Gepner, Brian Greene i Ronen Plesser varen trobar eixemples no trivials de la relació especular. Una atra prova d'este víncul prové de l'obra de Philip Caneles, Monika Lynker i Rolf Schimmrigk, que varen analisar per ordenador un gran número de varietats de Calabi-Yau i varen descobrir que venien en parells especulares.

En 1990 els físics Philip Caneles, Paul Green i Lindo Parkes junt en la matemàtica Xenia de la Ossa varen mostrar que la simetria especular es podria utilisar per a resoldre problemes de geometria enumerativa als que no s'havia pogut trobar solució durant décades. Estos resultats varen ser presentats en una conferència en el Mathematical Sciences Research Institute o MSRI en Berkeley, Califòrnia, en maig de 1991. Durant la dissertació, es va observar que un dels números que Caneles havia calculat per al reconte de curves racionals no concordava en l'obtingut pels matemàtics noruecs Geir Ellingsrud i Stein Arild Strømme usant tècniques considerades fins a llavors com més rigoroses. Molts participants de la conferència varen presumir que el treball de Caneles contenia un error, ya que no es basava en arguments estrictament matemàtics. No obstant, despuix d'examinar la seua solució, Ellingsrud i Strømme varen descobrir un error de codificació en els seus models informàtics i, despuix de corregir-ho, varen conseguir una resposta que coincidia en l'obtinguda per Caneles i els seus colaboradors.

En 1990, Edward Witten va introduir la teoria de cordes topològica, una variant simplificada de la teoria de cordes, per a la que es va demostrar l'existència d'una versió de simetria especular. Est enunciat s'utilisa com a definició general de la simetria especular en la lliteratura matemàtica. En un discurs en el Congrés Internacional de Matemàtics en 1994, Maksim Kontsévich va presentar una nova conjectura matemàtica basada en el concepte físic de la simetria especular en la teoria de cordes topològica. Coneguda com simetria especular homológica, esta hipòtesis formalisa la simetria especular com una equivalència entre dos estructures matemàtiques: la categoria derivada de fas coherents en una varietat de Calabi-Yau i la categoria Fukaya de la seua reflexió especular.

En 1995, també Kontsévich va analisar els resultats de Caneles, lo que va conduir a una fòrmula general per al problema de contar curves racionals en un quíntico triple i va reformular estos resultats com una conjectura matemàtica precisa. En 1996, Alexander Givental va publicar un artícul en el que afirmava provar la conjectura de Kontsévich. Inicialment, molts matemàtics varen trobar este treball difícil d'entendre, per lo que es dubtava de la veracitat de la prova. Posteriorment Bong Lian, Kefeng Liu i Shing-Tung Yau varen publicar una prova independent en una série de documents. A pesar de la controvèrsia sobre quí havia publicat la primera prova, tots estos artículs es consideren colectivamente com la prova matemàtica dels resultats obtinguts en física utilisant la simetria especular. En 2000, Kentaro Hori i Cumrun Vafa varen publicar una atra prova física basada en la dualitat T.

El treball en simetria especular continua en importants desenrolls en l'estudi de les cordes en superfícies en fronteres. Ademés, s'han trobat relacions entre la simetria especular i moltes àrees actives d'investigació matemàtica, com la correspondència McKay, la teoria topològica quàntica de camp i la teoria de condicions d'estabilitat. Al mateix temps, algunes qüestions bàsiques seguixen sense resoldre's. Per eixemple, encara es desconeix cóm construir eixemples de parells de Calabi-Yau especulares, encara que s'ha alvançat en la comprensió d'este problema.

Vore també

• Teoria Donaldson–Thomas.
• Wall-crossing.

Bibliografia consultada

• (2009) Dirichlet Branes and Mirror Symmetry, American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3848-8.
• (1991).Nuclear Physics B.359(1)

21–74.doi:10.1016/0550-3213(91)90292-6.

• (1985).Nuclear Physics B.258

46–74.doi:10.1016/0550-3213(85)90602-9.

• (1990).Nuclear Physics B.341(1)

383–402.doi:10.1016/0550-3213(90)90185-G.

• (1988).ICTP Ser. Theoret. Phys..4

67–126.

• (1996).International Mathematics Research Notices.1996(13)

613–663.doi:10.1155/S1073792896000414.

• (1998).Topological field theory, primitive forms and related topics.

141–175.doi:10.1007/978-1-4612-0705-4_5.

• (2000) L'univers elegant, Random House. ISBN 978-0-9650888-0-0. [existix una edició en espanyol, L'univers elegant, Ed. Crítica, Drakontos, ISBN 84-8432-781-7, 2006].
• (1990).Nuclear Physics B.338(1)

15–37.doi:10.1016/0550-3213(90)90622-K.

• (2003) Mirror Symmetry, American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2955-6.
• (1996).Physics Letters B.387(3)

513–519.doi:10.1016/0370-2693(96)01088-X.

• (1984).Physics Letters B.149(4)

357–360.doi:10.1016/0370-2693(84)90423-4.

• «The Moduli Space of Curves».Birkhäuser.doi:10.1007/978-1-4612-4264-2_12.

• (1995b).Proceedings of the International Congress of Mathematicians.

120–139.

• (1989).Nuclear Physics B.324(2)

427–474.doi:10.1016/0550-3213(89)90474-4.

• (1997).Asian Journal of Math.1

729–763.

• (1999a).Asian Journal of Math.3

109–146.

• (1999b).Asian Journal of Math.3

771–800.

• (2000).Surveys in Differential Geometry.

475–496.

• (1998) Categories for the Working Mathematician. ISBN 978-0-387-98403-2.
• Moore, Gregory(2005).Notices of the AMS.52Consultat el 1 de setembre de 2013.
• (1986).Progress of Theoretical Physics.75(3)

692–705.doi:10.1143/PTP.75.692.

• (1996).Nuclear Physics B.479(1)

243–259.doi:10.1016/0550-3213(96)00434-8.

• (1992).Essays on mirror manifolds.

96–119.

• (1984) General Relativity, University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-87033-5.
• (1990).Nuclear Physics B.340(2–3)

281–332.doi:10.1016/0550-3213(90)90449-N.

• (1992).Essays on mirror manifolds.

121–160.

• (2010) The Shape of Inner Space: String Theory and the Geometry of the Universe's Hidden Dimensions, Basic Books. ISBN 978-0-465-02023-2.
• (2008) The Princeton Companion to Mathematics. ISBN 978-0-691-11880-2.
• (2009) A First Course in String Theory, Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88032-9.
• Plantilla:Cite arXiv

Bibliografia complementària

Divulgació científica

• (2010) The Shape of Inner Space: String Theory and the Geometry of the Universe's Hidden Dimensions, Basic Books. ISBN 978-0-465-02023-2.
• (2008) The Princeton Companion to Mathematics. ISBN 978-0-691-11880-2.
• Plantilla:Cite arXiv

Llibres de text

• (2009) Dirichlet Branes and Mirror Symmetry, American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3848-8.
• (1999) Mirror symmetry and algebraic geometry, American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2127-5.
• (2003) Mirror Symmetry, American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2955-6.