Sexta potència

En aritmètica i àlgebra, la sexta potencia d'un número n és el resultat de multiplicar n sis voltes per sí mateixa. És dir:

n⁶ = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10.

Les sexta potència també es pot formar multiplicant un número per la seua quinta potència; el seu quadrat per la seua quarta potència; el gaveta d'un número per sí mateixa; elevant el seu quadrat a la tercera potència; o elevant la seua gaveta al quadrat.

La seqüència de sextes potències dels número entero és:

0, 1, 64, 729, 4096, 15625, 46656, 117649, 262144, 531441, 1000000, 1771561, 2985984, 4826809, 7529536, 11390625, 16777216, 24137569, 34012224, 47045881, 64000000, 85766121, 113379904, 148035889, 191102976 , 244140625, 308915776, 387420489, 481890304, ... Plantilla:OEIS

Inclou números decimals significatius, com 10⁶ (el milló), 100⁶ (10¹², el billó), i 1000⁶ (10¹⁸, el trilló).

Quadrats i gavetes

Les sextes potències d'número entero es poden caracterisar com els números que són simultàneament quadrats i gavetes. D'esta manera, es relacionen en atres dos classes de números figurats: els números quadrats triangulars, que són simultàneament quadrats i triangulars, i les solucions al problema de les bales de canó, que són simultàneament quadrats i quadrats-piramidals.

Per la seua conexió en els quadrats i les gavetes, les sextes potències juguen un paper important en l'estudi de les curves de Mordell, que són curves elíptiques de la forma

$y^2=x^3+k.$

Quan $k$ és divisible per una sexta potència, esta equació pot ser reduïda dividint per eixa potència, per a donar una equació més simple de la mateixa forma.

Un resultat ben conegut en la teoria numèrica, provat per Rudolf Fueter i Louis J. Mordell, establix que quan $k$ és un sancer que no és divisible per una sexta potència (llevat els casos excepcionals $k=1$ i $k=-432$), esta equació no té solucions racionals en tant $x$ com $y$ no nuls o no infinit algun d'ells.

En la notació arcaica de Robert Recorde, la sexta potència d'un número es dia el "zenzicubo", lo que significa el quadrat d'una gaveta. De la mateixa manera, la notació de sextes potències utilisades en el XII en la matemàtica en l'Índia per Bhaskara II també els cridava el quadrat d'una gaveta o la gaveta d'un quadrat.

Sumes

Existixen numerosos eixemples coneguts de sextes potències que poden ser expressades com la suma d'atres sèt potències, pero no es coneixen encara eixemples d'una sexta potència expressable com la suma d'exactament sis sextes potències. Açò fa única a la sexta potència entre les potències en exponent k = 1, 2, ..., 8, que poden expressar-se com la suma de k k-ésimas potències, i algunes de les quals poden expressar-se com una suma d'encara menys k-ésimas potències (contradient la conjectura de suma de potències de Euler).

En relació en el problema de Waring, qualsevol sancer suficientment gran pot representar-se com una suma de com a màxim 24 sextes potències de sancers.

Hi ha infinites i diferents solucions no trivials per a l'equació diofántica

$a^6+b^6+c^6=d^6+e^6+f^6.$

No s'ha provat si l'equació

$a^6+b^6=c^6+d^6$

té una solució no trivial, pero la conjectura de Lander, Parkin i Selfridge implicaria que no ho fa.

Vore també

• Equació de sext grau
• Sèptima potència