Símbol q-Pochhammer

En matemàtiques, en l'àrea de combinatòria, el símbol q-Pochhmammer és el q-anàlec del més conegut símbol de Pochhammer. Es definix de la següent manera:

El símbol q-Pochhmammer és el més important rajola en la construcció dels q-anàlecs. Per eixemple, en la teoria de les séries hipergeométricas bàsiques, este juga un paper fonamental de la mateixa manera que el símbol de Pochhammer ho juga en la teoria de les séries hypergeométricas.

A diferència del símbol de Pochhammer, el símbol q-Pochhammer sí pot estendre's com producte infinit, representant-se de la següent manera:

$(a;q{)}_{\mathrm{\infty }}=\prod _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(1-a{q}^k)$

Es tracta d'una funció a on q pren valores complexos que és analítica en l'interior del disc unitari, en lo que es pot representar en forma de série de potències formal de q. Els símbols q-Pochhammer solen utilisar-se en q-series, que són séries els coeficients de les quals depenen de q, generalment per mig de símbols q-Pochhammer.

Funció de Euler

Un cas especial és la coneguda funció de Euler, important en combinatòria, teoria de números i teoria de formes modular. La seua representació en forma de símbol q-Pochhammer és:

$\varphi (q)=(q;q{)}_{\mathrm{\infty }}=\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^k)$

que dins del ràdio de convergència pot ser representada en forma de série, com be va mostrar Leonhard Euler en 1775 en el seu famós teorema del número pentagonal, sent:

$\varphi (q)=(q;q{)}_{\mathrm{\infty }}=\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^k)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k{q}^{k(3k-1)/2}$

Identitats

• Un producte finit pot ser expressat en térmens de producte infinit:

$(a;q{)}_n=\frac{(a;q{)}_{\mathrm{\infty }}}{(a{q}^n;q{)}_{\mathrm{\infty }}}$

• El producte també pot estendre's per a números n negatius. Aixina que, per a un número no negatiu n es té:

$(a;q{)}_{-n}=\frac{1}{(a{q}^{-n};q{)}_n}$

i també:

$(a;q{)}_{-n}=\frac{(-q/a{)}^n{q}^{n(n-1)/2}}{(q/a;q{)}_n}$

• El símbol q-Pochhammer es pot representar per mig de l'us de q-series, particularment tenim:

$(x;q{)}_{\mathrm{\infty }}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{q}^{n(n-1)/2}}{(q;q{)}_n}{x}^n$

i

$\frac{1}{(x;q{)}_{\mathrm{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{(q;q{)}_n}$

en els que abdós són casos especials del teorema q-binomial:

$\frac{(ax;q{)}_{\mathrm{\infty }}}{(x;q{)}_{\mathrm{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a;q{)}_n}{(q;q{)}_n}{x}^n$

Referències

• George Gasper and Mizan Rahman, Basic Hypergeometric Séries, 2nd Edition, (2004), Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 96, Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-83357-4.
• Roelof Koekoek and Rene F. Swarttouw, The Askey scheme of orthogonal polynomials and its q-analogues, section 0.2.