Série hipergeométrica bàsica

En matemàtiques, les séries hipergeométricas bàsiques, o q-series hipergeométricas, són generalisacions q-anàlogues de les séries hipergeométricas generalisades, i són a la seua volta generalisades per les séries hipergeométricas elíptiques. Una serie x_n es denomina hipergeométrica si la relació dels térmens successius x_n+1/ x_n és una funció racional de n. Si la raó de térmens successius és una funció racional de qⁿ, llavors la série es denomina série hipergeométrica bàsica. El número q es diu base.

La série hipergeométrica bàsica $_{2} ϕ_{1} (q^{α}, q^{β}; q^{γ}; q, x)$ va ser considerada per primera volta per Eduard Heine en 1846. Es convertix en la série hipergeométrica $F (α, β; γ; x)$ en el llímit quan la base $q = 1$ .

Definició

Hi ha dos formes de séries hipergeométricas bàsiques, la série hipergeométrica bàsica unilateral φ, i la série hipergeométrica bàsica bilateral més general ψ. La série hipergeométrica bàsica unilateral es definix com

_{j} ϕ_{k} [\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & \dots & a_{j} \\ b_{1} & b_{2} & \dots & b_{k} \end{matrix}; q, z] = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{j}; q)_{n}}{(b_{1}, b_{2}, \dots, b_{k}, q; q)_{n}} {((- 1)^{n} q^{(\binom{n}{2})})}^{1 + k - j} z^{n}

a on

(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}; q)_{n} = (a_{1}; q)_{n} (a_{2}; q)_{n} \dots (a_{m}; q)_{n}

i

(a; q)_{n} = \prod_{k = 0}^{n - 1} (1 - a q^{k}) = (1 - a) (1 - a q) (1 - a q^{2}) \dots (1 - a q^{n - 1})

és el símbol q-Pochhammer. El cas especial més important és quan j = k + 1, que es convertix en

_{k + 1} ϕ_{k} [\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & \dots & a_{k} & a_{k + 1} \\ b_{1} & b_{2} & \dots & b_{k} \end{matrix}; q, z] = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k + 1}; q)_{n}}{(b_{1}, b_{2}, \dots, b_{k}, q; q)_{n}} z^{n} .

Esta série es diu balancejada si a₁ ... a_{k + 1} = b₁ ...b_kq. La série es diu ben equilibrada si a₁q = a₂b₁ = ... = a_{k + 1}b_k i molt ben equilibrada si ademés a₂ = −a₃ = qa₁^1/2. La série hipergeométrica bàsica unilateral és un q-anàlec de la série hipergeométrica ya que

\lim_{q \to 1}_{j} ϕ_{k} [\begin{matrix} q^{a_{1}} & q^{a_{2}} & \dots & q^{a_{j}} \\ q^{b_{1}} & q^{b_{2}} & \dots & q^{b_{k}} \end{matrix}; q, (q - 1)^{1 + k - j} z] =_{j} F_{k} [\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & \dots & a_{j} \\ b_{1} & b_{2} & \dots & b_{k} \end{matrix}; z]

es complix (Koekoek y Swarttouw (1996)).
La série hipergeométrica bàsica bilateral, corresponent a la série hipergeométrica bilateral, es definix com

_{j} ψ_{k} [\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & \dots & a_{j} \\ b_{1} & b_{2} & \dots & b_{k} \end{matrix}; q, z] = \sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{j}; q)_{n}}{(b_{1}, b_{2}, \dots, b_{k}; q)_{n}} {((- 1)^{n} q^{(\binom{n}{2})})}^{k - j} z^{n} .

El cas especial més important és quan j = k, ya que es convertix en

_{k} ψ_{k} [\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & \dots & a_{k} \\ b_{1} & b_{2} & \dots & b_{k} \end{matrix}; q, z] = \sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}; q)_{n}}{(b_{1}, b_{2}, \dots, b_{k}; q)_{n}} z^{n} .

La série unilateral pot obtindre's com un cas especial de la bilateral igualant una de les variables b a q, a lo manco quan cap de les variables a és potència de q, ya que tots els térmens en n < 0 desapareixen.

Séries simples

Algunes expressions de séries simples són

\frac{z}{1 - q}_{2} ϕ_{1} [\begin{matrix} q q \\ q^{2} \end{matrix}; q, z] = \frac{z}{1 - q} + \frac{z^{2}}{1 - q^{2}} + \frac{z^{3}}{1 - q^{3}} + \dots

,

\frac{z}{1 - q^{1 / 2}}_{2} ϕ_{1} [\begin{matrix} q q^{1 / 2} \\ q^{3 / 2} \end{matrix}; q, z] = \frac{z}{1 - q^{1 / 2}} + \frac{z^{2}}{1 - q^{3 / 2}} + \frac{z^{3}}{1 - q^{5 / 2}} + \dots

i

_{2} ϕ_{1} [\begin{matrix} q - 1 \\ - q \end{matrix}; q, z] = 1 + \frac{2 z}{1 + q} + \frac{2 z^{2}}{1 + q^{2}} + \frac{2 z^{3}}{1 + q^{3}} + \dots .

Vore també

Referències

Bibliografia

W.N. Bailey, Generalized Hypergeometric Séries, (1935) Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, No.32, Cambridge University Press, Cambridge.
William Y. C. Chen and Amy Fu, Semi-Finite Forms of Bilateral Basic Hypergeometric Séries (2004)
Exton, H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, ISBN 0853124914, ISBN 0470274530, ISBN 978-0470274538
Sylvie Corteel and Jeremy Lovejoy, Frobenius Partitions and the Combinatorics of Ramanujan's $_{1} ψ_{1}$ Summation
(1988).«Basic hypergeometric séries and applications».American Mathematical Society.Providence, R.I.:27
(2004).«Basic hypergeometric séries».Cambridge University Press.96

(1846).«Über die Reihe $1 + \frac{(q^{α} - 1) (q^{β} - 1)}{(q - 1) (q^{γ} - 1)} x + \frac{(q^{α} - 1) (q^{α + 1} - 1) (q^{β} - 1) (q^{β + 1} - 1)}{(q - 1) (q^{2} - 1) (q^{γ} - 1) (q^{γ + 1} - 1)} x^{2} + \dots$ ».Journal für die regne und angewandte Mathematik.32

210–212.

Victor Kac, Pokman Cheung, Quàntum calculus, Universitext, Springer-Verlag, 2002. Plantilla:Isbn
Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas».. Section 0.2
Andrews, G. E., Askey, R. and Roy, R. (1999). Special Functions, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, volume 71, Cambridge University Press.
Eduard Heine, Theorie der Kugelfunctionen, (1878) 1, pp 97–125.
Eduard Heine, Handbuch die Kugelfunctionen. Theorie und Anwendung (1898) Springer, Berlin.

Este artícul conté una traducció derivada de «Serie hipergeométrica básica» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.