Identitat de Dixon

En matemàtiques, la identitat de Dixon (també coneguda com a teorema de Dixon o fòrmula de Dixon) és qualsevol de vàries identitats diferents, pero estretament relacionades entre sí, demostrades per A. C. Dixon.^[1] Algunes impliquen sumes finitas de productes de tres coeficients binomiales i unes atres evaluen una funció hipergeométrica generalisada. Estes identitats es deduïxen del teorema de MacMahon Master i poden demostrar-se rutinariamente per mig d'algoritmes informàtics Plantilla:Harv.

Enunciats

L'identitat original, de Plantilla:Harv, és:

\sum_{k = - a}^{a} (- 1)^{k} {(\binom{2 a}{k + a})}^{3} = \frac{(3 a)!}{(a!)^{3}} .

Una generalisació, també cridada identitat de Dixon, és:

\sum_{k \in ℤ} (- 1)^{k} (\binom{a + b}{a + k}) (\binom{b + c}{b + k}) (\binom{c + a}{c + k}) = \frac{(a + b + c)!}{a! b! c!}

a on a, b i c són número entero Plantilla:Harv no negatius.

La suma de l'esquerra pot escriure's com la série hipergeométrica terminal ben equilibrada:

(\binom{b + c}{b - a}) (\binom{c + a}{c - a})_{3} F_{2} (- 2 a, - a - b, - a - c; 1 + b - a, 1 + c - a; 1)

i l'identitat es deduïx com un cas llímit (quan a tendix a un sancer) de la teorema de Dixon que evalua una ₃F₂ funció hipergeométrica generalisada ben equilibrada en 1, a partir de Plantilla:Harv:

_{3} F_{2} (a, b, c; 1 + a - b, 1 + a - c; 1) = \frac{Γ (1 + a / 2) Γ (1 + a / 2 - b - c) Γ (1 + a - b) Γ (1 + a - c)}{Γ (1 + a) Γ (1 + a - b - c) Γ (1 + a / 2 - b) Γ (1 + a / 2 - c)} .

Açò és vàlit per a Re(1 + Plantilla:Fraca ≤ b ≤ c) > 0. Com a c tendix a ±8, es reduïx a una funció hipergeométrica per a la funció hipergeométrica ₂F₁ en ±1. La teorema de Dixon es pot deduir del càlcul de l'integral de Selberg.

Anàlecs q

Un anàlec q de la fòrmula de Dixon per a una série hipergeométrica bàsica en térmens del símbol q-Pochhammer és donada per:

_{4} φ_{3} [\begin{matrix} a & - q a^{1 / 2} & b & c \\ - a^{1 / 2} & a q / b & a q / c \end{matrix}; q, q a^{1 / 2} / b c] = \frac{(a q, a q / b c, q a^{1 / 2} / b, q a^{1 / 2} / c; q)_{\infty}}{(a q / b, a q / c, q a^{1 / 2}, q a^{1 / 2} / b c; q)_{\infty}}

a on |qa^1/2/bc| < 1.

Referències

↑ Marko Petkovsek, Herbert S Wilf, Doron Zeilberger (1996). A = B, CRC Press, pp. 45 de 224. ISBN 9781439864500.

Bibliografia

«On the sum of the cubes of the coefficients in a certain expansion by the binomial theorem».Messenger of Mathematics.20

79–80.

Dixon, A.C.. “Summation of a certain séries”. Proc. London Math. Soc. 35 (1): 284–291. doi:10.1112/plms/s1-35.1.284.
“Short proofs of Saalschütz's and Dixon's theorems” . Journal of Combinatorial Theory, Séries A 38 (1): 87–90. doi:10.1016/0097-3165(85)90026-3. ISSN 1096-0899.
«A very short proof of Dixon's theorem».Journal of Combinatorial Theory, Séries A.54(1)

141–142.ISSN 1096-0899.doi:10.1016/0097-3165(90)90014-N.

“100 years of Dixon's identity” . Irish Mathematical Society Bulletin 0027 (27): 46–54. doi:10.33232/BIMS.0027.46.54. ISSN 0791-5578.
“A proof of Dixon's identity” . J. Int. Seq. 19.
«Generatingfunctionology».Academic Press.Boston, MA:

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Identidad de Dixon» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[MPHSWDZ-1] Marko Petkovsek, Herbert S Wilf, Doron Zeilberger (1996). A = B, CRC Press, pp. 45 de 224. ISBN 9781439864500.

[1]