Série trigonométrica

Les séries trigonométricas són un tipo de séries en la forma:

$\frac{A_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(A_n\cos nx+B_n\sin nx).$

Són denominades séries de Fourier quan els térmens $A_n$ i $B_n$ tenen la forma:

$A_n=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f(x)\cos nxdx(n=0,1,2,3\dots )$

$B_n=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f(x)\sin nxdx(n=1,2,3,\dots )$

a on $f$ és una funció integrable.

Zeros d'una série trigonométrica

L'unicitat i els zeros de les séries trigonométricas varen ser un àrea molt activa d'investigació en el XIX en Europa. Primer, Georg Cantor va provar que si una série trigonométrica és convergent cap a una funció $f(x)$ en l'interval $[0,2\pi ]$, quan és idèntica a zero, o de forma més general, és no-nula en un conjunt finito de punts, llavors els coeficients de la série són tots zero. Curiosament, cinccents anys abans els matemàtics de l'Índia, especialment els de l'escola de Kerala com Madhava de Sangamagrama i Neelakanta Somayaji ya havien creat les bases completes de la mateixa teoria.

Més alvance Georg Cantor va provar que si el conjunt S (en el que $f$ és no-nula) és infinit, pero el conjunt derivat S' de S és finito, llavors els coeficients són tots zero. De fet, va provar un resultat més general. Siga S₀ = S i siga S_k+1 el conjunt derivat de S_k. Si hi ha un número finito n per al que S_n és finito, llavors tots els coeficients són zero. Posteriorment, Lebesgue va demostrar que si hi ha un número ordinal α infinit tal que S_α és finito, llavors els coeficients de la série són tots zero. El treball de Cantor sobre el famós problema de l'unicitat de la série li va dur al descobriment dels números ordinals transfinitos, que apareixen com els subíndexs α en S_α.

Bibliografia sobre séries trigonométricas

Antoni Zygmund va escriure un tractat clàssic en dos volums titulat "Trigonometric Séries" (Séries Trigonométricas), a on s'analisen numerosos aspectes d'estes séries. La primera edició constava d'un sol volum, publicat en 1935 (en el títul llaugerament distint "Trigonometrical Séries"). La segona edició de 1959 va tindre una gran difusió, comprenia dos volums, encara que va ser reimpreso despuix en una edició de bojaca en un sol tom. La tercera edició de 2002 és similar a la segona edició, en l'adició d'un prefacio de Robert A. Fefferman sobre desenrolls recents, en particular sobre el teorema de Carleson sobre la convergència de funcions quadràtiques integrables.

Bibliografia

• (2002).«Trigonometric séries. Vol. I, II».Cambridge University Press.