Conjunt derivat

En matemàtiques, més específicament en topología, el conjunt derivat d'un subconjunt S d'un espai topològic és el conjunt de tots els punts llímit de S. Es denota generalment en la notació $S^{\prime }$.

El concepte va ser introduït per primera volta en 1872 per Georg Cantor, qui va desenrollar la teoria de conjunts en gran part per a estudiar els conjunts derivats en la recta real.

Propietats

Un subconjunt S d'un espai topològic és un tancat precisament quan $S^{\prime }\subseteq S$, és dir, quan $S$ conté tots els seus punts llímit. Dos subconjunts S i T estan separats precisament quan són disjuntos i cada u és disjunto del conjunt derivat de l'atre (encara que els conjunts derivats no necessiten ser disjuntos entre sí).

El conjunt S es definix com un conjunt perfecte si $S=S^{\prime }$. De forma equivalent, un conjunt perfecte és un conjunt tancat sense punts aïllats. Els conjunts perfectes són particularment importants en les aplicacions del Teorema de categories de Baire.

Una biyección entre dos espais topològics és un homeomorfisme si i solament si el conjunt derivat de l'image (en el segon espai) de qualsevol subconjunt del primer espai és l'image del conjunt derivat d'eixe subconjunt.

El Teorema de Cantor–Bendixson indica que qualsevol espai polac pot ser escrit com l'unió d'un conjunt numerable i un conjunt perfecte. Degut a que qualsevol subconjunt G_δ d'un espai polac és de nou un espai polac, la teorema també mostra que qualsevol subconjunt G_δ d'un espai polac és l'unió d'un conjunt numerable i un conjunt que és perfecte sobre la topología induïda.

Topología en térmens de conjunts derivats

Degut a que els homeomorfismes es poden descriure enterament en térmens de conjunts derivats, els conjunts derivats s'han utilisat com a noció primitiva en topología. Un conjunt de punts X es pot equipar en un operador ^* associant subconjunts de X a subconjunts de X, de modo que per a qualsevol conjunt S i per a qualsevol punt a, es té que:

1. ${\mathrm{\varnothing }}^{*}=\mathrm{\varnothing }$
2. $S^{**}\subseteq S^{*}$
3. $a\in S^{*}⟹a\in (S\setminus \{a\}{)}^{*}$
4. $(S\cup T{)}^{*}\subseteq S^{*}\cup T^{*}$
5. $S\subseteq T⟹S^{*}\subseteq T^{*}$

Tenint en conte que dau 5, 3 és equivalent a 3' (paràgraf següent), i que 4 i 5 junts són equivalents a 4' (paràgraf següent), llavors es tenen els següents axioma equivalents:

1. ${\mathrm{\varnothing }}^{*}=\mathrm{\varnothing }$
2. $S^{**}\subseteq S^{*}$

 3'. $S^{*}=(S\setminus \{a\}{)}^{*}$

 4'. $(S\cup T{)}^{*}=S^{*}\cup T^{*}$

Denominar un conjunt S tancat si $S^{*}\subseteq S$ definirà una topología en l'espai en el qual ^* és l'operador del conjunt derivat, és dir, $S^{*}=S^{\prime }$. Si també es requerix que el conjunt derivat d'un conjunt que consta d'un sol element estiga buit, l'espai resultant serà un espai T₁. De fet, 2 i 3' poden fallar en un espai que no siga T₁.

Vore també

Conjunt perfecte

Referències

• Kechris, A. (1995). Classical Descriptive Set Theory, Graduate Texts in Mathematics 156 edició, Springer. ISBN 978-0-387-94374-9.
• Sierpiński, Wacław F.; Traduït per Krieger, C. Cecilia (1952). Topología General . University of Toronto Press.