Rotacional (mecànica quàntica)

Este artícul es referix al operador del moviment de rotació, tal com apareix en la mecànica quàntica.

Rotacions en mecànica quàntica

Per a cada rotació física R, es postula un operador de rotació (rotacional) mecànica quàntica D(R) que denota la rotació dels estats mecànics quàntics.

$|\alpha {⟩}_R=D(R)|\alpha ⟩$

Sobre els generadors de rotació,

$D(\widehat{𝐧},\varphi )=\exp (-i\varphi \frac{\widehat{𝐧}\cdot 𝐉}{\hslash })$

sent $\widehat{𝐧}$ l'eix de rotació, i $𝐉$ el moment angular.

L'operador translació

Artícul principal → Operador translació (mecànica quàntica).

L'operador moviment de rotació $\text{R}(z,\theta )$, en el primer argument $z$ que indica l'eix de rotació i el segon $\theta$ l'àngul de rotació, pot operar a través del operador translació $\text{T}(a)$ per a rotacions infinitesimals, com s'explica a continuació. Per esta raó, primer es mostra cóm l'operador de translació està actuant sobre una partícula en la posició x (la partícula està llavors en l'estat $|x⟩$, d'acort en la mecànica quàntica).

Translació de la partícula en la posició x a la posició x + a: $\text{T}(a)|x⟩=|x+a⟩$

Degut a que una translació de 0 no canvia la posició de la partícula, llavors (1 indica l'operador identitat, que no introduïx canvis):

$\text{T}(0)=1$

$\text{T}(a)\text{T}(da)|x⟩=\text{T}(a)|x+da⟩=|x+a+da⟩=\text{T}(a+da)|x⟩\Rightarrow$

$\text{T}(a)\text{T}(da)=\text{T}(a+da)$

El desenroll de Taylor dona:

$\text{T}(da)=\text{T}(0)+\frac{d\text{T}(0)}{da}da+\mathrm{...}=1-\frac{i}{\hslash }{p}_{x}da$

en

$p_x=i\hslash \frac{d\text{T}(0)}{da}$

De lo que se seguix que:

$\text{T}(a+da)=\text{T}(a)\text{T}(da)=\text{T}(a)(1-\frac{i}{\hslash }{p}_{x}da)\Rightarrow$

$[\text{T}(a+da)-\text{T}(a)]/da=\frac{d\text{T}}{da}=-\frac{i}{\hslash }{p}_x\text{T}(a)$

Esta és una equació diferencial en la solució $\text{T}(a)=\text{exp}(-\frac{i}{\hslash }{p}_{x}a)$.

Ademés, suponga's un hamiltoniano $H$ és independent de la posició $x$. Degut a que l'operador de translació es pot escriure en térmens de $p_x$ i $[p_x,H]=0$, se sap que $[H,\text{T}(a)]=0$. Este resultat significa que es conserva la cantitat de moviment llineal per al sistema.

Vore també

• Simetria en mecànica quàntica
• Base esfèrica
• Espai de fase òptica

Referències

• L.D. Landau and E.M. Lifshitz: Quàntum Mechanics: Senar-Relativistic Theory, Pergamon Press, 1985
• P.A.M. Dirac: The Principles of Quàntum Mechanics, Oxford University Press, 1958
• R.P. Feynman, R.B. Leighton and M. Sands: The Feynman Lectures on Physics, Addison-Wesley, 1965