Purificació d'estats quàntics

En mecànica quàntica, especialment en el camp de l'informació quàntica, la purificació es referix al fet que cada estat mixt actuant en un espai de Hilbert de dimensió finita pot ser vist com l'estat reduït d'algun estat pur.

En térmens purament algebraics, açò pot ser considerat com una proposició de les matrius semidefinidas positives .

Proposició

Siga $\rho$ una matriu densitat que actua en un espai de Hilbert $H_A$ de dimensió finita $n$. Llavors existix un espai de Hilbert $H_B$ espai i un estat pur $|\psi ⟩\in H_A\otimes H_B$ tal que la traça parcial de $|\psi ⟩⟨\psi |$ sobre $H_B$ és

$\mathrm{t}{\mathrm{r}}_{\mathrm{B}}(|\psi ⟩⟨\psi |)=\rho .$

Es diu que $|\psi ⟩$ és la purificació de $\rho$.

Demostració

Una matriu densitat és per definició semidefinida positiva. Aixina que $\rho$ pot ser diagonalizada i escrita com $\rho =\sum _{i=1}^n{p}_i|i⟩⟨i|$ en alguna base $\{|i⟩\}$. Siga $H_B$ una atra còpia de l'espai de Hilbert $n$-dimensional en una base ortonormal $\{|i^{\prime }⟩\}$. Es definix $|\psi ⟩\in H_A\otimes H_B$ per

$|\psi ⟩=\sum _i\sqrt{p_i}|i⟩\otimes |i^{\prime }⟩.$

Un càlcul directe dona

$\mathrm{t}{\mathrm{r}}_{\mathrm{B}}(|\psi ⟩⟨\psi |)=\mathrm{t}{\mathrm{r}}_{\mathrm{B}}\left[(\sum _i\sqrt{p_i}|i⟩\otimes |i^{\prime }⟩)(\sum _j\sqrt{p_j}⟨j|\otimes ⟨j^{\prime }|)\right]$

$=\mathrm{t}{\mathrm{r}}_{\mathrm{B}}(\sum _{i,j}\sqrt{p_i{p}_j}|i⟩⟨j|\otimes |i^{\prime }⟩⟨j^{\prime }|)=\sum _{i,j}{\delta }_{ij}\sqrt{p_i{p}_j}|i⟩⟨j|=\rho .$

Açò prova la proposició.

Notes

• L'estat pur $|\psi ⟩$ està en la forma especificada per la descomposició de Schmidt.

• Ya que la raïl quadrada d'una matriu semidefinida positiva no és única, tampoc ho és la seua purificació.

• En térmens algebraics, una matriu quadrada és semidefinida positiva si i solament si es pot purificar en el sentit expost dalt. El si la part de l'implicació se seguix immediatament del fet que la traça parcial d'una aplicació positiva és una atra aplicació positiva (pel teorema de Choi).