Problema dels moments

Eixemple: Donada la mija i la varianza ${\sigma }^2$ (aixina com tots els cumulantes adicionals iguals a 0), la distribució normal és la distribució que resol el problema dels moments

El problema dels moments és una qüestió en matemàtiques que sorgix com a resultat d'intentar invertir l'aplicació que relaciona una mida μ en la seqüència de moments

$m_n=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{n}d\mu (x).$

De manera més general, es pot considerar que

$m_n=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{M}_n(x)d\mu (x).$

per a una seqüència arbitrària de funcions M_n.

Introducció

Dins de la teoria clàssica de funcions estadístiques, μ és una mida sobre la recta real i M és la seqüència {xⁿ : n = 0, 1, 2, ...}. D'esta forma, la qüestió apareix en teoria de la provabilitat, preguntant si hi ha una mida de provabilitat que posseïxca la mija, la varianza i els distints moments especificats; i si esta mida és única.

Hi ha tres problemes de moments clàssics en nom: el problema del moment de Hamburger en el que el soport de μ es permet que siga tota la recta real; el problema del moment de Stieltjes, en el que es considera l'interval [0, +∞); i el problema del moment de Hausdorff per a un interval acotat, que sense pèrdua de generalitat pot prendre's com [0, 1].

Existència

Una seqüència de números m_n és la seqüència de moments d'una mida μ si i solament si es complix una determinada condició de positividad; a saber, que la matriu de Hankel H_n,

$(H_n{)}_{ij}=m_{i+j},$

deuria ser positiva semidefinida. Açò es deu a que una matriu de Hankel semidefinida positiva correspon a un funcional llineal $\Lambda$ tal que $\Lambda (x^n)=m_n$ i $\Lambda (f^2)\ge 0$ (no negativa per a la suma de quadrats de polinomis). Suponga's que $\Lambda$ es pot estendre a $ℝ[x{]}^{*}$. En el cas d'una sola variable, un polinomi no negatiu sempre es pot escriure com sumixca de quadrats. Llavors, el funcional llineal $\Lambda$ és positiu per a tots els polinomis no negatius en el cas univariante. Segons la teorema de Haviland, el funcional llineal té una forma de mida, és dir $\Lambda (x^n)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{n}d\mu$. Una condició de forma similar és necessària i suficient per a l'existència d'una mida $\mu$ soportada en un interval donat [a, b].

Una forma de provar estos resultats és considerar el funcional llineal $\phi$ que aplica un polinomi

$P(x)=\sum _k{a}_k{x}^k$

a

$\sum _k{a}_k{m}_k.$

Si m_kn són els moments d'alguna mida μ sobre [a, b], llavors evidentment

I viceversa, si (Plantilla:EquationNote) es complix, es pot aplicar el teorema d'extensió de M. Riesz i estendre $\phi$ a un funcional en l'espai de funcions contínues en soport compacte C₀([a, b ]), de modo que

Segons el teorema de representació de Riesz, (Plantilla:EquationNote) es complix si existix una mida μ sobre [a, b], tal que

$\phi (f)=\int fd\mu$

per a cada ƒ ∈ C₀([a, b]).

Aixina, l'existència de la mida $\mu$ equival a (Plantilla:EquationNote). Usant una teorema de representació per a polinomis positius en [a, b], es pot reformular (Plantilla:EquationNote) com una condició en la matriu de Hankel.

Cónsultese Shohat & Tamarkin 1943 i Krein & Nudelman 1977 per a obtindre més detalls.

Vore també

• Problema del moment de Stieltjes
• Problema del moment de Hamburger
• Problema del moment de Hausdorff
• Moment (matemàtiques)
• Condició de Carleman
• Matriu de Hankel

Bibliografia

• (1943) The Problem of Moments, New York: American mathematical society.
• (1965) The classical moment problem and some related questions in analysis, New York: Hafner Publishing Co.. (traduït del rus per N. Kemmer)
• (1977) The Markov moment problem and extremal problems. Idees and problems of P. L. Chebyshev and A. A. Markov and their further development (vol. Translations of Mathematical Monographs, Vol. 50), American Mathematical Society, Providence, R.I.. (Traduït del rus per D. Louvish)
• (2017) The moment problem, Springer International Publishing.