Problema del moment de Stieltjes

En matemàtiques, el problema del moment de Stieltjes, que du el nom de Thomas Joannes Stieltjes, busca les condicions necessàries i suficients per a que una successió (m₀, m₁, m₂, ... ) siga de la forma^[1]

m_{n} = \int_{0}^{\infty} x^{n} d μ (x)

per a alguns mida μ. Si tal funció μ existix, deu analisar-se si és única.

La diferència essencial entre est i uns atres problema dels moments coneguts és que el de Stieltjes s'aplica sobre una semirrecta [0,∞), mentres que en el Problema del moment de Hausdorff es considera un interval acotat [0, 1], i en el problema del moment de Hamburger es considera tota la recta real (−∞, ∞).

Existència

Siga

Δ_{n} = [\begin{matrix} m_{0} & m_{1} & m_{2} & \dots & m_{n} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} & \dots & m_{n + 1} \\ m_{2} & m_{3} & m_{4} & \dots & m_{n + 2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ m_{n} & m_{n + 1} & m_{n + 2} & \dots & m_{2 n} \end{matrix}]

i

Δ_{n}^{(1)} = [\begin{matrix} m_{1} & m_{2} & m_{3} & \dots & m_{n + 1} \\ m_{2} & m_{3} & m_{4} & \dots & m_{n + 2} \\ m_{3} & m_{4} & m_{5} & \dots & m_{n + 3} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ m_{n + 1} & m_{n + 2} & m_{n + 3} & \dots & m_{2 n + 1} \end{matrix}] .

Llavors { m_n : n = 1, 2, 3, ... } és una seqüència de moments d'alguna mida en $[0, \infty)$ en soport infinit si i solament si para tots els n, abdós

\det (Δ_{n}) > 0 a n d \det (Δ_{n}^{(1)}) > 0.

{ m_n : n = 1, 2, 3, ... } és una seqüència de moments d'alguna mida sobre $[0, \infty)$ en soport finito de tamany m si i solament si para tot $n \leq m$ , abdós

\det (Δ_{n}) > 0 a n d \det (Δ_{n}^{(1)}) > 0

i per a tots els $n$ més grans

\det (Δ_{n}) = 0 a n d \det (Δ_{n}^{(1)}) = 0.

Unicitat

Hi ha vàries condicions suficients per a l'unicitat, per eixemple, la condició de Carleman establix que la solució és única si

\sum_{n \geq 1} m_{n}^{- 1 / (2 n)} = \infty .

Referències

↑ Annie A.M. Cuyt, Vigdis Petersen, Brigitte Verdonk, Haakon Waadeland, William B. Jones (2008). Handbook of Continued Fractions for Special Functions, Springer Science & Business Media, pp. 77 de 431. ISBN 9781402069499.

Bibliografia

(1975).«Fourier Analysis, Self-Adjointness».Academic Press.2

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Problema del momento de Stieltjes» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[AACVPBVHWWBJ-1] Annie A.M. Cuyt, Vigdis Petersen, Brigitte Verdonk, Haakon Waadeland, William B. Jones (2008). Handbook of Continued Fractions for Special Functions, Springer Science & Business Media, pp. 77 de 431. ISBN 9781402069499.

[1]