Polinomi separable

En àlgebra, un polinomi $p(x)$ és separable sobre un cos $K$ si les seues raïls en una clausura algebraica de $K$ són distintes; és dir, $p(x)$ té factors llineals distints en una extensió de cos suficientment gran. Equivalentement, $p(x)$ és separable si i solament si és coprimo en el seu derivada $p^{\prime }(x).$

Els polinomis irreducibles sobre un cos perfecte són separables, lo que inclou en particular tots els cossos de característica 0, i tots els cossos finitos. Este criteri és de vital importància en la teoria de Galois. En este context, el concepte de separabilidad és de menor importància si el polinomi $p(x)$ no se supon irreducible, ya que les raïls repetides poden simplement reflectir que $p(x)$ no és lliure de quadrats.

El criteri que nos du a traure conclusions ràpides sobre si $p(x)$ és irreducible i no separable és que $p^{\prime }(x)=0.$ Açò solament és possible en cossos de característica $p$: necessitem tindre $p(x)=q(x^p)$ a on el número primo $p$ és la característica.

A continuació vorem un eixemple:

$p(x)=x^p-t$

en $K$ un cos de funcions racionals en l'indeterminada $t$ sobre un cos finito en $p$ elements. Ací un pot provar directament que $p(x)$ és irreducible i no separable. De fet, est és el típic eixemple a on es pot vore l'importància de la inseparabilidad; en térmens geomètrics $p(x)$ representa l'aplicació en la recta proyectiva sobre un cos finito, prenent coordenades com les seues potències p-esimas. Dites aplicacions són fonamentals en la geometria algebraica de cossos finitos.

Si $L$ és l'extensió de cos $K(t^{1/p})$ (el cos de descomposició de $p(x)$) llavors $L/K$ és un eixemple d'extensió de cos inseparable pura. És de grau $p$, pero no té automorfismes que deixen fixa $K,$ a banda de l'identitat, ya que $t^{1/p}$ és l'única raïl de $p(x)$. Açò mostra que la teoria de Galois no és aplicable en este entorn.

Es pot vore que el producte tensorial de cossos de $L$ en si mateixa sobre $K$ per a este eixemple té elements nilpotents no nuls. Esta és una atra manifestació de la inseparabilidad: l'operació de producte tensorial en cossos necessita no produir un anell que siga producte de cossos.

Si $p(x)$ és separable, i les seues raïls formen un grup (un subgrup del cos $K$), llavors $p(x)$ és un polinomi aditiu.