Operador traça

En matemàtiques, el operador traça estén la noció de restricció d'una funció al llímit del seu domini, aplicant-la a funcions "generalisades" en un espai de Sóbolev. Açò és particularment important per a l'estudi d'equacions en derivades parcials en condicions de contorn prescrites (problemes de condició de contorn), a on solucions dèbils poden no ser lo suficientment regulars per a satisfer les condicions de contorn en el sentit clàssic de l'anàlisis de funcions.

Motivació

En un domini $Ω \subset ℝ^{n}$ delimitat i uniforme, considere's el problema de resoldre l'equació de Poisson en condicions de contorn de Dirichlet no homogénees:

\begin{matrix} - Δ u & = f & in Ω, \\ u & = g & on \partial Ω \end{matrix}

en les funcions $f$ i $g$ donades en regularitat discutides en l'apartat aplicació que figura més alvance. La solució dèbil $u \in H^{1} (Ω)$ d'esta equació deu satisfer

\int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla φ d x = \int_{Ω} f φ d x

per a tots els

φ \in H_{0}^{1} (Ω)

.

La regularitat $H^{1} (Ω)$ de $u$ és suficient per a que esta equació integral estiga ben definida. No obstant, no és evident en quin sentit $u$ pot satisfer la condició de llímit $u = g$ en $\partial Ω$ : per definició, $u \in H^{1} (Ω) \subset L^{2} (Ω)$ és una classe d'equivalència de funcions que pot tindre valors arbitraris en $\partial Ω$ ya que este és un conjunt nul sobre la mida de Lebesgue n-dimensional.

Si $Ω \subset ℝ^{1}$ conté a $H^{1} (Ω) ↪ C^{0} (\bar{Ω})$ pel teorema de incrustación de Sobolev, de modo que $u$ pot satisfer la condició de frontera en el sentit clàssic, és dir, la restricció de $u$ a $\partial Ω$ concorda en la funció $g$ (més precisament: existix un representant de $u$ en $C (\bar{Ω})$ en esta propietat). Per a $Ω \subset ℝ^{n}$ en $n > 1$ tal incrustación no existix i l'operador traça $T$ presentat ací deu usar-se per a donar significat a $u |_{\partial Ω}$ . Llavors $u \in H^{1} (Ω)$ en $T u = g$ es diu una solució dèbil al problema del valor llímit si se satisfà l'equació integral anterior. Per a que la definició de l'operador traça siga raonable, es deu mantindre $T u = u |_{\partial Ω}$ per a $u$ suficientment regular.

Teorema de la traça

L'operador traça es pot definir per a funcions en els espais de Sobolev $W^{1, p} (Ω)$ en $1 \leq p < \infty$ ; consulte's la secció següent per a vore les possibles extensions de la traça atres espais. Siga $Ω \subset ℝ^{n}$ per a $n \in ℕ$ un domini acotat en llímit de Lipschitz. Llavors existix un operador traça llineal acotat

T : W^{1, p} (Ω) \to L^{p} (\partial Ω)

tal que $T$ estén la traça clàssica, és dir

T u = u |_{\partial Ω}

per a tots els

u \in W^{1, p} (Ω) \cap C (\bar{Ω})

.

La continuïtat de $T$ implica que

‖ T u ‖_{L^{p} (\partial Ω)} \leq C ‖ u ‖_{W^{1, p} (Ω)}

per a tots els

u \in W^{1, p} (Ω)

en constant sol depenent de $p$ i $Ω$ . La funció $T u$ es diu traça de $u$ i, a sovint, simplement s'indica en $u |_{\partial Ω}$ . Atres símbols comuns per a $T$ inclouen $t r$ i $γ$ .

Construcció

Este paràgraf seguix el desenroll d'Evans, a on es poden trobar més detalls, i assumix que $Ω$ té un llímit $C^{1}$ . Una prova (d'una versió més forta) de la teorema de la traça per als dominis de Lipschitz es pot trobar en Gagliardo. En un domini $C^{1}$ , l'operador traça es pot definir com l'extensió llineal contínua de l'operador

T : C^{\infty} (\bar{Ω}) \to L^{p} (\partial Ω)

a l'espai $W^{1, p} (Ω)$ . Per la densitat de $C^{\infty} (\bar{Ω})$ en $W^{1, p} (Ω)$ tal extensió és possible si $T$ és continu sobre la norma $W^{1, p} (Ω)$ . La prova d'açò, és dir, que existix $C > 0$ (depenent de $Ω$ and $p$ ) tal que

‖ T u ‖_{L^{p} (\partial Ω)} \leq C ‖ u ‖_{W^{1, p} (Ω)}

para tot

u \in C^{\infty} (\bar{Ω}) .

és l'ingredient central en la construcció de l'operador traça. Una variant local d'esta estimació per a les funcions $C^{1} (\bar{Ω})$ es prova primer per a un llímit pla local utilisant el teorema de la divergència. Per transformació, un llímit general $C^{1}$ es pot rectificar localment per a reduir-ho a este cas, a on la regularitat en $C^{1}$ de la transformació requerix que l'estimació local es mantinga per a les funcions $C^{1} (\bar{Ω})$ .

En esta continuïtat de l'operador traça en $C^{\infty} (\bar{Ω})$ existix una extensió de $W^{1, p} (Ω)$ per mig d'arguments abstractes i $T u$ per a $u \in W^{1, p} (Ω)$ es pot caracterisar de la següent manera. Siga $u_{k} \in C^{\infty} (\bar{Ω})$ una seqüència que s'aproxima a $u \in W^{1, p} (Ω)$ per densitat. Per la continuïtat provada de $T$ en $C^{\infty} (\bar{Ω})$ , la seqüència $u_{k} |_{\partial Ω}$ és una seqüència de Cauchy en $L^{p} (\partial Ω)$ i $T u = \lim_{k \to \infty} u_{k} |_{\partial Ω}$ en llímit pres en $L^{p} (\partial Ω)$ .

La propietat d'extensió $T u = u |_{\partial Ω}$ és vàlida per a $u \in C^{\infty} (\bar{Ω})$ per construcció, pero per a qualsevol $u \in W^{1, p} (Ω) \cap C (\bar{Ω})$ existix una seqüència $u_{k} \in C^{\infty} (\bar{Ω})$ que convergix uniformemente en $\bar{Ω}$ a $u$ , verificant la propietat d'extensió en el conjunt més gran $W^{1, p} (Ω) \cap C (\bar{Ω})$ .

El cas p = ∞

Si $Ω$ està acotat i té un llímit $C^{1}$ , llavors per la desigualtat de Morrey existix una incrustación contínua $W^{1, \infty} (Ω) ↪ C^{0, 1} (Ω)$ , a on $C^{0, 1} (Ω)$ denota l'espai de les funcions Lipschitz continuous. En particular, qualsevol funció $u \in W^{1, \infty} (Ω)$ té una traça clàssica $u |_{\partial Ω} \in C (\partial Ω)$ i es manté

‖ u |_{\partial Ω} ‖_{C (\partial Ω)} \leq ‖ u ‖_{C^{0, 1} (Ω)} \leq C ‖ u ‖_{W^{1, \infty} (Ω)} .

Referències

Bibliografia

Leoni, Giovanni (2017). Un primer curs en espais de Sobolev: Segona edició . Graduate Studies in Mathematics. '181' . Societat Matemàtica Nortamericana. págs. 734. 'ISBN 978-1-4704-2921-8'

Este artícul conté una traducció derivada de «Operador traza» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.