Operador diferencial vectorial

Un operador diferencial vectorial és un operador llineal que actua sobre camps vectorials definits sobre una varietat diferenciable.

Conjunt $O_{x,\alpha }^n(h)$ d'Operadors Fraccionales

El càlcul fraccional de conjunts (Fractional Calculus of Sets (FCS)), mencionat per primera volta en l'artícul titulat "Sets of Fractional Operators and Numerical Estimation of the Order of Convergence of a Family of Fractional Fixed-Point Methods", és una metodologia derivada del càlcul fraccional. El concepte principal darrere de el FCS és la caracterisació dels elements del càlcul fraccional utilisant conjunts per la gran cantitat d'operadors fraccionales disponibles. Esta metodologia es va originar a partir del desenroll del método de Newton-Raphson fraccional i treballs relacionats posteriors.

Ilustració d'algunes llínees generades pel método de Newton–Raphson fraccional per a la mateixa condició inicial $x_0$ pero en diferents órdens $\alpha$ de l'operador fraccional implementat. Font: Applied Mathematics and Computation

El càlcul fraccional, una branca de les matemàtiques que tracta en derivades d'orde no sancer, va sorgir casi simultàneament en el càlcul tradicional. Esta emergència va ser en part per la notació de Leibniz para derivades d'orde sancer: $\frac{d^n}{d{x}^n}$. Gràcies a esta notació, L’Hopital va poder preguntar en una carta a Leibniz sobre l'interpretació de prendre $n=\frac{1}{2}$ en una derivada. En eixe moment, Leibniz no va poder proporcionar una interpretació física o geomètrica per a esta pregunta, per lo que simplement va respondre a L’Hopital en una carta que "... és una aparent paradoxa de la qual, algun dia, es derivaran conseqüències útils".

El nom "càlcul fraccional" s'origina a partir d'una pregunta històrica, ya que esta branca de l'anàlisis matemàtic estudia derivades i integrals d'un cert orde $\alpha \in ℝ$. Actualment, el càlcul fraccional carix d'una definició unificada de lo que constituïx una derivada fraccional. En conseqüència, quan no és necessari especificar explícitament la forma d'una derivada fraccional, típicament es denota de la següent manera:

$\frac{d^{\alpha }}{d{x}^{\alpha }}.$

Els operadors fraccionales tenen vàries representacions, pero una de les seues propietats fonamentals és que recuperen els resultats del càlcul tradicional a mida que $\alpha \to n$. Considerant una funció escalar $h:{ℝ}^m\to ℝ$ i la base canònica de ${ℝ}^m$ denotada per $\{{\hat{e}}_k{\}}_{k\ge 1}$, el següent operador fraccional d'orde $\alpha$ es definix utilisant notació d'Einstein:

$o_x^{\alpha }h(x):={\hat{e}}_k{o}_k^{\alpha }h(x).$

Denotant $\underset{k}{\overset{n}{\partial }}$ com la derivada parcial d'orde $n$ sobre el component $k$-ésimo del vector $x$, es definix el següent conjunt d'operadors fraccionales:

$O_{x,\alpha }^n(h):=\{o_x^{\alpha }:\mathrm{\exists }{o}_k^{\alpha }h(x)\text{ y }\underset{\alpha \to n}{\lim }{o}_k^{\alpha }h(x)=\underset{k}{\overset{n}{\partial }}h(x)\mathrm{\forall }k\ge 1\},$

el complement del qual és:

$O_{x,\alpha }^{n,c}(h):=\{o_x^{\alpha }:\mathrm{\exists }{o}_k^{\alpha }h(x)\mathrm{\forall }k\ge 1\text{ y }\underset{\alpha \to n}{\lim }{o}_k^{\alpha }h(x)\ne \underset{k}{\overset{n}{\partial }}h(x)\text{ para al menos un }k\ge 1\}.$

Com a conseqüència, es definix el següent conjunt:

$O_{x,\alpha }^{n,u}(h):=O_{x,\alpha }^n(h)\cup O_{x,\alpha }^{n,c}(h).$

Extensió a Funcions Vectorials

Per a una funció $h:\Omega \subset {ℝ}^m\to {ℝ}^m$, el conjunt es definix com:

${}_m{O}_{x,\alpha }^{n,u}(h):=\{o_x^{\alpha }:o_x^{\alpha }\in O_{x,\alpha }^{n,u}([h{]}_k)\mathrm{\forall }k\le m\},$

a on $[h{]}_k:\Omega \subset {ℝ}^m\to ℝ$ denota el $k$-ésimo component de la funció $h$.

Eixemples

• Operador rotacional
• Operador gradient
• Operador divergència
• Operador laplaciano

Alguns autors consideren ademés qualsevol operador diferencial usat en el càlcul vectorial, per lo que consideren que l'operador gradient és un operador diferencial vectorial, ya que el seu resultat sobre una funció escalar dona lloc a un camp vectorial.