Operació externa

Archiu:Caps block 0 Operación binaria.svg

Arbre de classificació

Es diu que una operació matemàtica és una operació externa en una operació binaria si l'aplicació entre els conjunts és de la forma:

1. $\star :B\times A\to A$, llei de composició externa a l'esquerra
2. $\star :A\times B\to A$, llei de composició externa a la dreta
3. $\star :A\times A\to B$
4. $\star :A\times B\to C$,

sent $\star$ l'operació binaria, que representem:

$a\star b\to c,\star (a,b)\to c,(a,b)\stackrel{\star }{\to }c$

per oposició a la forma de l'aplicació:

$\begin{array}{cccc}⊚:& A\times A& ⟶& A\\ & (a,b)& ⟼& c=a⊚b\end{array}$

A on a cada parell ordenat (a,b) li correspon un c, sent a, b i c elements de A. Que es denomina Operació interna o llei de composició interna.

Primer cas

Donada una Operació binaria de la forma:

$\begin{array}{cccc}\star :& B\times A& ⟶& A\\ & (k,a)& ⟼& b=k\star a\end{array}$

a on a cada parell ordenat:

$(k,a)\in B\times A$

se li associa un element

$b\in A$

En este cas es denomina llei de composició externa a l'esquerra; els elements de B, són per als elements de A,operadors o multiplicadors a l'esquerra.

Eixemple

Prenent el conjunt R de número real, i el conjunt V3 dels vectores de tres dimensions, i l'operació del producte d'un escalar per un vector:

$\begin{array}{cccc}\cdot :& ℝ\times V_3& ⟶& V_3\\ & (k,\overrightarrow{a})& ⟼& \overrightarrow{b}=k\cdot \overrightarrow{a}\end{array}$

a on un vector:

$\overrightarrow{a}=(x,y,z)$

multiplicat per un escalar k de R:

$\overrightarrow{b}=k\cdot \overrightarrow{a}=k\cdot (x,y,z)=(kx,ky,kz)$

Tercer cas

Donada una operació binaria de la forma:

$\begin{array}{cccc}\star :& A\times A& ⟶& B\\ & (a,b)& ⟼& c=a\star b\end{array}$

a on a cada parell ordenat:

$(a,b)\in A^2$

li correspon un element:

$c\in B$

també és una operació externa.

Eixemple

Donat el conjunt V3 de vectores en l'espai i el conjunt R d'número real, i l'aplicació Producte escalar de vectores:

$\begin{array}{cccc}\circ :& V_3\times V_3& ⟶& ℝ\\ & (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})& ⟼& c=\overrightarrow{a}\circ \overrightarrow{b}\end{array}$

L'operació Del qual representem:

$\overrightarrow{a}\circ \overrightarrow{b}=c$

donats els vectores:

$\overrightarrow{a}=(a_x,a_y,a_z)$

$\overrightarrow{b}=(b_x,b_y,b_z)$

el producte escalar dels dos vectores és:

$c=\overrightarrow{a}\circ \overrightarrow{b}=(a_x,a_y,a_z)\circ (b_x,b_y,b_z)=a_x\cdot b_x+a_y\cdot b_y+a_z\cdot b_z$

que és un valor real.

La diferència de número natural és una operació externa, ya que els operants naturals el resultat sempre serà un sancer.

$\begin{array}{cccc}-:& \mathbb{N}\times \mathbb{N}& ⟶& \mathbb{Z}\\ & (a,b)& ⟼& c=a-b\end{array}$

En la forma de l'operació:

$c=a-b$

Per a tot parell ordenat (a,b) d'número natural, a la seua diferència li correspon un número c, sancer, sent c = a-b, és una aplicació matemàtica.

Vore també

• Operació matemàtica
• Relació matemàtica
• Correspondència matemàtica