Número primo de Sophie Germain

En teoria de números, un número primo p és un cosí de Sophie Germain si 2p + 1 també és primer. El número 2p + 1 associat en un número primo de Sophie Germain es denomina número primo segur. Per eixemple, 11 és un cosí de Sophie Germain i 2 × 11 + 1 = 23 és el seu cosí segur associat. Els número primo de Sophie Germain duen el nom de la matemàtica francesa Sophie Germain (1776-1831), qui els va usar en les seues investigacions sobre l'última teorema de Fermat.^[1] Els número primo de Sophie Germain i els número primo segurs tenen aplicacions en criptografia asimètrica i en proves de primalidad. S'ha conjecturado que hi ha infinits primers de Sophie Germain, pero seguix sense provar-se.

Números individuals

Els primers número primo de Sophie Germain (els menors de 1000) són

2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, 239, 251, 281, 293, 359, 419, 431, 443, 491, 509, 593, 641, 653, 659, 683, 719, 743, 761, 809, 911, 953, ... Plantilla:OEIS2C

Per lo tant, els primers cosins segurs són

5, 7, 11, 23, 47, 59, 83, 107, 167, 179, 227, 263, 347, 359, 383, 467, 479, 503, 563, 587, 719, 839, 863, 887, 983, 1019, 1187, 1283, 1307, 1319, 1367, 1439, 1487, 1523, 1619, 1823, 1907, ... Plantilla:OEIS2C

En criptografia es requerixen número primo de Sophie Germain molt més grans com 1.846.389.521.368 + 11⁶⁰⁰.

Dos proyectes de computació distribuïda, PrimeGrid i Twin Prime Search, inclouen busques de grans número primo de Sophie Germain. Alguns dels cosins de Sophie Germain més grans coneguts es donen en la següent taula.^[2]

Valor	Número de dígits	Data del descobriment	Descobridor
2618163402417 × 2^1290000 − 1	388.342	febrer de 2016	Dr. James Scott Brown en una busca distribuïda PrimeGrid utilisant els programes TwinGen i el LLR^[3]
18543637900515 × 2⁶⁶⁶⁶⁶⁷ − 1	200.701	abril de 2012	Philipp Bliedung en una busca distribuïda PrimeGrid utilisant els programes TwinGen i el LLR^[4]
183027 × 2²⁶⁵⁴⁴⁰ − 1	79.911	març de 2010	Tom Wu usant LLR^[5]
648621027630345 × 2²⁵³⁸²⁴ − 1 i 620366307356565 × 2²⁵³⁸²⁴ − 1	76.424	novembre de 2009	Zoltán Járai, Gábor Farkas, Tímea Csajbók, János Kasza and Antal Járai^[6]^[7]
1068669447 × 2²¹¹⁰⁸⁸ − 1	63.553	maig de 2020	Michael Kwok^[8]
99064503957 × 2²⁰⁰⁰⁰⁸ − 1	60.220	abril de 2016	S. Urushihata^[9]
607095 × 2¹⁷⁶³¹¹ − 1	53.081	setembre de 2009	Tom Wu^[10]
48047305725 × 2¹⁷²⁴⁰³ − 1	51.910	giner de 2007	David Underbakke utilisant TwinGen i LLR^[11]
137211941292195 × 2¹⁷¹⁹⁶⁰ − 1	51.780	maig de 2006	Járai et al.^[12]

El 2 de decembre de 2019, Fabrice Boudot, Pierrick Gaudry, Aurore Guillevic, Nadia Heninger, Emmanuel Thomé i Paul Zimmermann varen anunciar el càlcul d'un mòdul de logaritmo discret d'número primo de 240 dígits (795 bits) RSA-240 + 49204 (el primer número primo segur anterior era RSA-240) utilisant un algoritme de garbell general del cos de números; vore récorts en logaritmos discrets.

Propietats

No existix una prova de primalidad especial per als cosins segurs com la que existix per als números de Fermat i els primers de Mersenne. No obstant, el criteri de Pocklington pot usar-se per a provar la primalidad de 2p + 1 una volta que s'ha provat la primalidad de p.

Aixina com tots els térmens llevat l'últim d'una cadena de Cunningham del primer tipo són primers de Sophie Germain, tots els térmens llevat el primer de dita cadena són primers segurs. Els cosins segurs terminats en 7, és dir, de la forma 10n + 7, són els últims térmens de dites cadenes quan es presenten, ya que 2(10n + 7) + 1 = 20n + 15 és divisible per 5.

Si un cosí segur q és congruent a 7 mòdul 8, llavors és un divisor d'un número primo de Mersenne en el seu cosí de Sophie Germain corresponent com a exponent.

Si q > 7 és un cosí segur, llavors q dividix a 3^(q−1)/2 - 1. Açò es deriva del fet de que 3 és un residu quadràtic mod q.

Restriccions modular

En l'excepció de 7, un cosí segur q té la forma 6k − 1 o, de manera equivalent, q ≡ 5 (mòdul 6) com a p > 3. De manera similar, en l'excepció de 5, un cosí segur q té la forma 4k + 1 o, de manera equivalent, q ≡ 3 (mod 4), un fet trivialmente cert ya que (q − 1) / 2 deu evaluar-se com un número natural impar. Combinant abdós formes per mig del mcm(6, 4) es determina que un cosí segur q > 7 també deu ser de la forma 12k - 1 o, de manera equivalent, q ≡ 11 (mod 12). D'això es deduïx que 3 (també 12) és un residu quadràtic mòdul q per a qualsevol cosí segur q > 7. (Aixina, 12 no és una raïl primitiva de cap cosí segur q > 7, i els únics número primo segurs que també són cosins llarcs en sistema duodecimal són 5 i 7).

Si p és un cosí de Sophie Germain major que 3, llavors p deu ser congruent en 2 mod 3. Perque si no, seria congruent en 1 mod 3 i 2p + 1 seria congruent en 3 mod 3, impossible per a un número primo.^[13] S'apliquen restriccions similars per a mòduls primers més grans i són la base per a l'elecció de el "factor de correcció" 2C en l'estimació de Hardy-Littlewood sobre la densitat dels número primo de Sophie Germain.

Si un cosí de Sophie Germain p és congruent a 3 (mod 4) (Plantilla:OEIS, primers lucasianos), llavors el seu cosí segur coincidente 2p + 1 serà un divisor del primer de Mersenne 2^p - 1. Històricament, este resultat de Leonhard Euler va ser el primer criteri conegut per a que un número de Mersenne en un índex primer fora compost.^[14] Es pot usar per a generar els números de Mersenne més grans (en índexs primers) que se sap que són composts.^[15]

Referències

↑ Específicament, Germain va demostrar que el primer cas de l'última teorema de Fermat, en el que l'exponent dividix una de les bases, és cert per a tots els número primo de Sophie Germain, i va usar arguments similars per a demostrar lo mateix per a tots els demés número primo fins al 100. Per a més detalls vore (2000).«Fermat's Last Theorem: A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory».Springer.50
61–65..
↑ The Top Twenty Sophie Germain Primes — from the Prime Pages. Retrieved 17 May 2020.
↑ «PrimeGrid's Sophie Germain Prime Search» (PDF). PrimeGrid.
↑ «PrimeGrid's Sophie Germain Prime Search» (PDF). PrimeGrid.
↑ The Prime Database: 183027*2^265440-1. From The Prime Pages.
↑ The Prime Database: 648621027630345*2^253824-1.
↑ The Prime Database: 620366307356565*2^253824-1
↑ The Prime Database: 1068669447*2^211088-1 From The Prime Pages.
↑ The Prime Database: 99064503957*2^200008-1 From The Prime Pages.
↑ The Prime Database: 607095*2^176311-1.
↑ The Prime Database: 48047305725*2^172403-1.
↑ The Prime Database: 137211941292195*2^171960-1.
↑ (2010).«An Episodic History of Mathematics: Mathematical Culture Through Problem Solving».Mathematical Association of America..
↑ .
↑ (1996).«Large Sophie Germain primes».Mathematics of Computation.65
393–396.doi:10.1090/S0025-5718-96-00670-9..

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Número primo de Sophie Germain» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Específicament, Germain va demostrar que el primer cas de l'última teorema de Fermat, en el que l'exponent dividix una de les bases, és cert per a tots els número primo de Sophie Germain, i va usar arguments similars per a demostrar lo mateix per a tots els demés número primo fins al 100. Per a més detalls vore (2000).«Fermat's Last Theorem: A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory».Springer.50
61–65..

[2] The Top Twenty Sophie Germain Primes — from the Prime Pages. Retrieved 17 May 2020.

[3] «PrimeGrid's Sophie Germain Prime Search» (PDF). PrimeGrid.

[4] «PrimeGrid's Sophie Germain Prime Search» (PDF). PrimeGrid.

[5] The Prime Database: 183027*2^265440-1. From The Prime Pages.

[6] The Prime Database: 648621027630345*2^253824-1.

[7] The Prime Database: 620366307356565*2^253824-1

[8] The Prime Database: 1068669447*2^211088-1 From The Prime Pages.

[9] The Prime Database: 99064503957*2^200008-1 From The Prime Pages.

[10] The Prime Database: 607095*2^176311-1.

[11] The Prime Database: 48047305725*2^172403-1.

[12] The Prime Database: 137211941292195*2^171960-1.

[13] (2010).«An Episodic History of Mathematics: Mathematical Culture Through Problem Solving».Mathematical Association of America..

[14] .

[15] (1996).«Large Sophie Germain primes».Mathematics of Computation.65
393–396.doi:10.1090/S0025-5718-96-00670-9..

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]