Models compartimentales en epidemiologia

Els models compartimentales constituïxen una tècnica utilisada per a simplificar la modelización matemàtica de les malalties infeccioses. La població es dividix en compartimento, assumint que cada individu en un mateix compartimento té les mateixes característiques.

El seu orige es troba a principis de el XX, sent un treball important la primera investigació de Kermack i McKendrick en 1927. Els models solen investigar-se per mig d'equacions diferencials ordinàries (les quals són determinísticas), pero també es poden observar en un marc estocàstic, el qual és més realiste pero també més complicat d'analisar.

Els models compartimentales es poden utilisar per a predir les característiques de propagació d'una malaltia, per eixemple, la prevalença (número total d'infectats) o la duració d'una epidèmia.

Ademés, el model permet comprendre cóm diferents situacions poden afectar el resultat de l'epidèmia, per eixemple, quin és la tècnica més eficient per a emetre un número llimitat de vacunes en una determinada població.

El model SIR

El model SIR és un dels models compartimentales més simples i molts models deriven d'este model bàsic. El model consta de tres compartimento: S per al número de susceptibles, I per al número d'infectats i R per al número de recuperats (o immunes). Este model és raonablement predictiu per a malalties infeccioses que es transmeten d'humà a humà i a on la recuperació conferix resistència duradora, com el pallola, les paperas i la rubéola.

Estes variables (S, I i R) representen el número de persones en cada compartimiento en un moment concret. Per a representar que el número d'individus susceptibles, infectats i recuperats pot variar en el temps (inclús si el tamany de la població total permaneix constant), els números precisos es convertixen en una funció de t (temps): S(t), I(t) i R(t). Per a una malaltia específica en una població específica, estes funcions poden calcular-se per a predir possibles brots i controlar-los.

El model SIR és dinàmic en tres sentits

Sobre la funció variable de la t, el model és dinàmic mentres que els números en cada compartimento poden fluctuar en el temps. L'importància d'este aspecte dinàmic és més evident en una malaltia endèmica en un curt periodo infecciós, com el pallola en el Regne Unit abans de l'introducció de la vacuna en 1968. Estes malalties tendixen a ocórrer en cicles de brots per la variació en el número de casos susceptibles (S(t)) a lo llarc del temps. Durant una epidèmia, el número d'individus susceptibles decreix ràpidament a mida que s'infecten i, en conseqüència, entren en els compartimento d'infectats i recuperats. La malaltia no pot brotar de nou fins que el número de susceptibles haja tornat a acumular-se, per eixemple, com a resultat de la descendència, que naix en l'compartimento susceptible.

Cada membre de la població sol passar de susceptible a infectat, i a recuperat. Açò es pot mostrar com un diagrama de fluix en el que els quadros representen els diferents compartimento i les fleches la transició entre compartimento, per eixemple:

Taxes de transició

Per a que el model siga completament específic, les fleches es tenen que etiquetar en les taxes de transició entre els compartimento. Entre S i I, la taxa de transició és βI, a on β és el número promig de contactes per persona per temps, multiplicat per la provabilitat de transmissió de la malaltia en un contacte entre un subjecte susceptible i un infectat. Entre I i R, la taxa de transició és γ (simplement és la taxa de recuperació o mort, és dir, el número de recuperats o morts durant un dia, dividit entre el número total d'infectats d'eixe mateix dia, suponent que el «dia» és l'unitat de temps). Si la duració de l'infecció és indicada com a D, llavors γ = 1/D, ya que un individu experimenta una recuperació en D unitats de temps. S'assumix que la permanència de cada subjecte en els estats epidémicos és una variable aleatòria en distribució exponencial. Es poden utilisar distribucions més complexes i realistes (com la distribució de Erlang) en algunes modificacions.

Tractament determinístico biomatemático del model SIR

El model SIR sense dinàmica vital.

La dinàmica d'una epidèmia, per eixemple la grip, a sovint és molt més ràpida que la dinàmica del naiximent i la mort, per lo tant, el naiximent i la mort solen ometre's en models compartimentales simples. El sistema SIR sense la denominada dinàmica vital (naiximent i mort, a voltes denominada demografia), descrit anteriorment, pot expressar-se per mig del següent conjunt d'equacions diferencials ordinàries:

___MATH_0___

a on ___MATH_1___ és el conjunt de la població susceptible, ___MATH_2___ és el conjunt d'infectats, ___MATH_3___ el de la població sense la malaltia (per mort o recuperació) i ___MATH_4___ la suma dels tres.

Este model va ser propost per primera volta per O. Kermack i Anderson Gray Mckendrick, com un cas especial de lo que ara cridem la teoria de Kermack i McKendrick, i va donar seguiment al treball de McKendrick en Ronald Ross. Este sistema és no llineal, no obstant, és possible derivar la seua solució analítica de forma tancada. Atres ferramentes numèriques inclouen métodos de Mont Carlo, com l'algoritme Gillespie. Primer, note's que:

___MATH_5___

a lo que seguix:

___MATH_6___

expressant en térmens matemàtics la constant de població ___MATH_7___. Note's que la relació anterior implica que tan solament es té que estudiar dos de les tres equacions.

En segon lloc, observem que la dinàmica de la classe infecciosa depén de la següent relació:

___MATH_8___

el cridat número bàsic de reproducció (també cridada ràtio bàsica reproductiva). Esta ràtio està derivada com el número de noves infeccions esperades (estes noves infeccions es diuen secundàries) d'una sola infecció en una població a on tots els subjectes són susceptibles. Esta idea es pot comprovar millor si s'establix el temps típic entre contactes com ___MATH_9___ i el temps típic fins que no es té la malaltia com ___MATH_10___. Des d'ací seguix que, en general, el número de contactes en una persona infecciosa ans que ya no tinga la malaltia és: ___MATH_11___

Dividint la primera equació diferencial entre un terç, separant les variables i integrant les senyes obtenim

___MATH_12___

a on ___MATH_13___ i ___MATH_14___ són els números inicials de, respectivament, susceptibles i sense malaltia. Si escrivim ___MATH_15___ per a la proporció inicial de susceptibles i ___MATH_16___ and ___MATH_17___ per als susceptibles i sense malaltia, respectivament, en el llímit ___MATH_18___ s'obté

___MATH_19___

(note's que l'compartimento d'infecciosos es buida en este llímit).

Esta equació transcendent té una solució en térmens de la funció W de Lambert, que és:

___MATH_20___

Açò mostra que al final d'una epidèmia, a no ser que ___MATH_21___, no tots els individus d'una població no tenen la malaltia, per lo tant alguns poden ser susceptibles. Açò vol dir que el final d'una epidèmia està causada pel descens en el número d'infecciosos i no per la falta de subjectes susceptibles.

El rol del número bàsic de reproducció és extremadament important. De fet, si reescrivim l'equació per a un individu infecciós de la següent manera:

___MATH_22___

veem que si:

___MATH_23___

llavors:

___MATH_24___

hi haurà un brot epidémico en un número més alt de casos (lo que pot alcançar a una gran part de la població). Pel contrari:

___MATH_25___

llavors:

___MATH_26___

independentment del tamany inicial de la població susceptible, la malaltia mai pot causar un brot epidémico. Com a conseqüència, està clar que el número bàsic reproductiu és molt important.

La força de l'infecció

Cal tindre en conte que en el model anterior la funció:

___MATH_27___

modela la ràtio de transició de l'compartimento susceptible a l'infecciós, aixina que es diu força de l'infecció. No obstant, per a classes de malalties més comunicables, és més realista considerar la força de l'infecció que no depén del número absolut d'infecciosos, pero de la fracció (sobre la constant total de població ___MATH_28___):

___MATH_29___

Capasso i, despuix, atres autors han propost forces no-lineares per a modelar de manera més realista el procés de contagi.

Solucions analítiques exactes al model SIR

En el 2014, Harko i coautores varen derivar una solució analítica exacta al model SIR. En el cas sense dinàmica vital, per a ___MATH_30___, etc. , correspon a la següent parametización:

___MATH_31___

___MATH_32___

___MATH_33___

para

___MATH_34___

en condicions inicials

___MATH_35___

a on ___MATH_36___ satisfà ___MATH_37___. En l'equació transcendental ___MATH_38___ anterior, seguix que ___MATH_39___, si ___MATH_40___ i___MATH_41___.

Es va trobar una solució analítica equivalent als rendiments de Miller:

___MATH_42___

Ací ___MATH_43___ es pot interpretar com el número esperat de transmissions que un individu ha rebut per temps ___MATH_44___. Estes dos solucions estan relacionades per ___MATH_45___

Efectivament, el mateix resultat pot trobar-se en el treball original de Kermack i Mckendrick.

Estes solucions s'entenen millor si veem que tots els térmens en la part de la dreta de les equacions diferencials són proporcionals a ___MATH_46___. Les equacions poden ser dividides per ___MATH_47___, i el temps reescalado per a que l'operador en l'esquerra es convertixca simplement en ___MATH_48___, a on ___MATH_49___, per eixemple ___MATH_50___. Les equacions diferencials són ara lineares i la tercera, en forma ___MATH_51___ const. , mostra que ___MATH_52___ i ___MATH_53___ (i dalt ___MATH_54___) es creen simplement lineares.

El model SIR en dinàmica vital i població constant

Considere una població caracterisada per una taxa de mortalitat ___MATH_55___ i una ràtio de naiximent ___MATH_56___, i a on malalties comunicables es propaguen. El model de transmissió és:

___MATH_57___

per al qual l'equilibri sense malaltia (DFE, en anglés) és:

___MATH_58___

En este cas, podem derivar el número de reproducció bàsic:

___MATH_59___

que té propietats d'entrada. De fet, independentment dels valors biològics inicials, podem vore que:

___MATH_60___

___MATH_61___

El punt EE, és l'Equilibri Endèmic (la malaltia no està erradicada i es manté en la població). En arguments heurístics, un pot vore que ___MATH_62___ es pot llegir com el promig d'infeccions causades per un sol subjecte infecciós en una població susceptible. La relació biològica anterior implica que si el número és igual o menor que 1 la malaltia s'extinguix; pel contrari, si és major, la malaltia es quedara permanentment endèmica en la població.