Models compartimentales en epidemiologia

Els models compartimentales constituïxen una tècnica utilisada per a simplificar la modelisació matemàtica de les malalties infeccioses. La població es dividix en compartiment, assumint que cada individu en un mateix compartiment té les mateixes característiques.

El seu orige es troba a principis de el XX, sent un treball important la primera investigació de Kermack i McKendrick en 1927. Els models solen investigar-se per mig d'equacions diferencials ordinàries (les quals són determinísticas), pero també es poden observar en un marc estocàstic, el qual és més realiste pero també més complicat d'analisar.

Els models compartimentales es poden utilisar per a predir les característiques de propagació d'una malaltia, per eixemple, la prevalença (número total d'infectats) o la duració d'una epidèmia.

Ademés, el model permet comprendre cóm diferents situacions poden afectar el resultat de l'epidèmia, per eixemple, quin és la tècnica més eficient per a emetre un número llimitat de vacunes en una determinada població.

El model SIR

El model SIR és un dels models compartimentales més simples i molts models deriven d'este model bàsic. El model consta de tres compartiment: S per al número de susceptibles, I per al número d'infectats i R per al número de recuperats (o immunes). Este model és raonablement predictiu per a malalties infeccioses que es transmeten d'humà a humà i a on la recuperació conferix resistència duradora, com el pallola, les paperas i la rubéola.

Estes variables (S, I i R) representen el número de persones en cada compartimiento en un moment concret. Per a representar que el número d'individus susceptibles, infectats i recuperats pot variar en el temps (inclús si el tamany de la població total permaneix constant), els números precisos es convertixen en una funció de t (temps): S(t), I(t) i R(t). Per a una malaltia específica en una població específica, estes funcions poden calcular-se per a predir possibles brots i controlar-los.

El model SIR és dinàmic en tres sentits

Sobre la funció variable de la t, el model és dinàmic mentres que els números en cada compartiment poden fluctuar en el temps. L'importància d'este aspecte dinàmic és més evident en una malaltia endèmica en un curt periodo infecciós, com el pallola en el Regne Unit abans de l'introducció de la vacuna en 1968. Estes malalties tendixen a ocórrer en cicles de brots per la variació en el número de casos susceptibles (S(t)) a lo llarc del temps. Durant una epidèmia, el número d'individus susceptibles decreix ràpidament a mida que s'infecten i, en conseqüència, entren en els compartiment d'infectats i recuperats. La malaltia no pot brotar de nou fins que el número de susceptibles haja tornat a acumular-se, per eixemple, com a resultat de la descendència, que naix en el compartiment susceptible.

Cada membre de la població sol passar de susceptible a infectat, i a recuperat. Açò es pot mostrar com un diagrama de fluix en el que els quadros representen els diferents compartiment i les fleches la transició entre compartiment, per eixemple:

Taxes de transició

Per a que el model siga completament específic, les fleches es tenen que etiquetar en les taxes de transició entre els compartiment. Entre S i I, la taxa de transició és βI, a on β és el número promig de contactes per persona per temps, multiplicat per la provabilitat de transmissió de la malaltia en un contacte entre un subjecte susceptible i un infectat. Entre I i R, la taxa de transició és γ (simplement és la taxa de recuperació o mort, és dir, el número de recuperats o morts durant un dia, dividit entre el número total d'infectats d'eixe mateix dia, suponent que el «dia» és l'unitat de temps). Si la duració de l'infecció és indicada com a D, llavors γ = 1/D, ya que un individu experimenta una recuperació en D unitats de temps. S'assumix que la permanència de cada subjecte en els estats epidémicos és una variable aleatòria en distribució exponencial. Es poden utilisar distribucions més complexes i realistes (com la distribució de Erlang) en algunes modificacions.

Tractament determinístico biomatemático del model SIR

El model SIR sense dinàmica vital.

La dinàmica d'una epidèmia, per eixemple la grip, a sovint és molt més ràpida que la dinàmica del naiximent i la mort, per lo tant, el naiximent i la mort solen ometre's en models compartimentales simples. El sistema SIR sense la denominada dinàmica vital (naiximent i mort, a voltes denominada demografia), descrit anteriorment, pot expressar-se per mig del següent conjunt d'equacions diferencials ordinàries:

$\begin{array}{cc}& \frac{dS}{dt}=-\frac{\beta IS}{N},\\ & \frac{dI}{dt}=\frac{\beta IS}{N}-\gamma I,\\ & \frac{dR}{dt}=\gamma I,\end{array}$

a on $S$ és el conjunt de la població susceptible, $I$ és el conjunt d'infectats, $R$ el de la població sense la malaltia (per mort o recuperació) i $N$ la suma dels tres.

Este model va ser propost per primera volta per O. Kermack i Anderson Gray Mckendrick, com un cas especial de lo que ara cridem la teoria de Kermack i McKendrick, i va donar seguiment al treball de McKendrick en Ronald Ross. Este sistema és no llineal, no obstant, és possible derivar la seua solució analítica de forma tancada. Atres ferramentes numèriques inclouen métodos de Mont Carlo, com l'algoritme Gillespie. Primer, note's que:

$\frac{dS}{dt}+\frac{dI}{dt}+\frac{dR}{dt}=0,$

a lo que seguix:

$S(t)+I(t)+R(t)=\text{constant}=N,$

expressant en térmens matemàtics la constant de població $N$. Note's que la relació anterior implica que tan solament es té que estudiar dos de les tres equacions.

En segon lloc, observem que la dinàmica de la classe infecciosa depén de la següent relació:

$R_0=\frac{\beta }{\gamma },$

el cridat número bàsic de reproducció (també cridada ràtio bàsica reproductiva). Esta ràtio està derivada com el número de noves infeccions esperades (estes noves infeccions es diuen secundàries) d'una sola infecció en una població a on tots els subjectes són susceptibles. Esta idea es pot comprovar millor si s'establix el temps típic entre contactes com $T_c={\beta }^{-1}$ i el temps típic fins que no es té la malaltia com $T_r={\gamma }^{-1}$. Des d'ací seguix que, en general, el número de contactes en una persona infecciosa ans que ya no tinga la malaltia és: $T_r/T_c.$

Dividint la primera equació diferencial entre un terç, separant les variables i integrant les senyes obtenim

$S(t)=S(0)e^{-R_0(R(t)-R(0))/N},$

a on $S(0)$ i $R(0)$ són els números inicials de, respectivament, susceptibles i sense malaltia. Si escrivim $s_0=S(0)/N$ per a la proporció inicial de susceptibles i $s_{\mathrm{\infty }}=S(\mathrm{\infty })/N$ and $r_{\mathrm{\infty }}=R(\mathrm{\infty })/N$ per als susceptibles i sense malaltia, respectivament, en el llímit $t\to \mathrm{\infty },$ s'obté

$s_{\mathrm{\infty }}=1-r_{\mathrm{\infty }}=s_0{e}^{-R_0(r_{\mathrm{\infty }}-r_0)}$

(note's que el compartiment d'infecciosos es buida en este llímit).

Esta equació transcendent té una solució en térmens de la funció W de Lambert, que és:

$s_{\mathrm{\infty }}=1-r_{\mathrm{\infty }}=-R_0^{-1}W(-s_0{R}_0{e}^{-R_0(1-r_0)}).$

Açò mostra que al final d'una epidèmia, a no ser que $s_0=0$, no tots els individus d'una població no tenen la malaltia, per lo tant alguns poden ser susceptibles. Açò vol dir que el final d'una epidèmia està causada pel descens en el número d'infecciosos i no per la falta de subjectes susceptibles.

El rol del número bàsic de reproducció és extremadament important. De fet, si reescrivim l'equació per a un individu infecciós de la següent manera:

$\frac{dI}{dt}=(R_0\frac{S}{N}-1)\gamma I,$

veem que si:

$R_0>\frac{N}{S(0)},$

llavors:

$\frac{dI}{dt}(0)>0,$

hi haurà un brot epidémico en un número més alt de casos (lo que pot alcançar a una gran part de la població). Pel contrari:

$R_0<\frac{N}{S(0)},$

llavors:

$\frac{dI}{dt}(0)<0,$

independentment del tamany inicial de la població susceptible, la malaltia mai pot causar un brot epidémico. Com a conseqüència, està clar que el número bàsic reproductiu és molt important.

La força de l'infecció

Cal tindre en conte que en el model anterior la funció:

$F=\beta I,$

modela la ràtio de transició de el compartiment susceptible a l'infecciós, aixina que es diu força de l'infecció. No obstant, per a classes de malalties més comunicables, és més realista considerar la força de l'infecció que no depén del número absolut d'infecciosos, pero de la fracció (sobre la constant total de població $N$):

$F=\beta \frac{I}{N}.$

Capasso i, despuix, atres autors han propost forces no-lineares per a modelar de manera més realista el procés de contagi.

Solucions analítiques exactes al model SIR

En el 2014, Harko i coautores varen derivar una solució analítica exacta al model SIR. En el cas sense dinàmica vital, per a $𝒮(u)=S(t)$, etc. , correspon a la següent parametisació:

$𝒮(u)=S(0)u$

$ℐ(u)=N-ℛ(u)-𝒮(u)$

$ℛ(u)=R(0)-\rho \ln (u)$

para

$t=\frac{N}{\beta }\underset{u}{\overset{1}{\int }}\frac{d{u}^{*}}{u^{*}ℐ(u^{*})},\rho =\frac{\gamma N}{\beta },$

en condicions inicials

$(𝒮(1),ℐ(1),ℛ(1))=(S(0),N-R(0)-S(0),R(0)),u_T<u<1,$

a on $u_T$ satisfà $ℐ(u_T)=0$. En l'equació transcendental $R_{\mathrm{\infty }}$ anterior, seguix que $u_T=e^{-(R_{\mathrm{\infty }}-R(0))/\rho }(=S_{\mathrm{\infty }}/S(0)$, si $S(0)\ne 0)$ i$I_{\mathrm{\infty }}=0$.

Es va trobar una solució analítica equivalent als rendiments de Miller:

$\begin{array}{cc}S(t)& =S(0)e^{-\xi (t)}\\ I(t)& =N-S(t)-R(t)\\ R(t)& =R(0)+\rho \xi (t)\\ \xi (t)& =\frac{\beta }{N}\underset{0}{\overset{t}{\int }}I(t^{*})d{t}^{*}\end{array}$

Ací $\xi (t)$ es pot interpretar com el número esperat de transmissions que un individu ha rebut per temps $t$. Estes dos solucions estan relacionades per $e^{-\xi (t)}=u$

Efectivament, el mateix resultat pot trobar-se en el treball original de Kermack i Mckendrick.

Estes solucions s'entenen millor si veem que tots els térmens en la part de la dreta de les equacions diferencials són proporcionals a $I$. Les equacions poden ser dividides per $I$, i el temps reescalado per a que l'operador en l'esquerra es convertixca simplement en $d/d\tau$, a on $d\tau =Idt$, per eixemple $\tau =\int Idt$. Les equacions diferencials són ara lineares i la tercera, en forma $dR/d\tau =$ const. , mostra que $\tau$ i $R$ (i dalt $\xi$) es creen simplement lineares.

El model SIR en dinàmica vital i població constant

Considere una població caracterisada per una taxa de mortalitat $\mu$ i una ràtio de naiximent $\Lambda$, i a on malalties comunicables es propaguen. El model de transmissió és:

$\begin{array}{cc}\frac{dS}{dt}& =\Lambda -\mu S-\frac{\beta IS}{N}\\ \frac{dI}{dt}& =\frac{\beta IS}{N}-\gamma I-\mu I\\ \frac{dR}{dt}& =\gamma I-\mu R\end{array}$

per al qual l'equilibri sense malaltia (DFE, en anglés) és:

$(S(t),I(t),R(t))=(\frac{\Lambda }{\mu },0,0).$

En este cas, podem derivar el número de reproducció bàsic:

$R_0=\frac{\beta \Lambda }{\mu (\mu +\gamma )},$

que té propietats d'entrada. De fet, independentment dels valors biològics inicials, podem vore que:

$R_0\le 1\Rightarrow \underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }(S(t),I(t),R(t))=\text{DFE}=(\frac{\Lambda }{\mu },0,0)$

$R_0>1,I(0)>0\Rightarrow \underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }(S(t),I(t),R(t))=\text{EE}=(\frac{\gamma +\mu }{\beta },\frac{\mu }{\beta }(R_0-1),\frac{\gamma }{\beta }(R_0-1)).$

El punt EE, és l'Equilibri Endèmic (la malaltia no està erradicada i es manté en la població). En arguments heurístics, un pot vore que $R_0$ es pot llegir com el promig d'infeccions causades per un sol subjecte infecciós en una població susceptible. La relació biològica anterior implica que si el número és igual o menor que 1 la malaltia s'extinguix; pel contrari, si és major, la malaltia es quedara permanentment endèmica en la població.