Mida dèbil

En mecànica quàntica (i computació i informació), les medicions dèbils són un tipo de medició quàntica que fa que un observador obtinga molt poca informació sobre el sistema en promig, pero que també pertorba molt poc l'estat. Segons la teorema de Busch, el sistema està necessàriament pertorbat per la medició. En la bibliografia, les medicions dèbils també es coneixen com a medicions no nítides, difusas, opaques, sorolloses, aproximades i suaus. Ademés, les medicions dèbils es confonen a sovint en el concepte distint pero relacionat del valor dèbil.

Història

Les medicions dèbils es varen pensar per primera volta en el context de les medicions contínues dèbils dels sistemes quàntics (és dir, el filtrat quàntic i les trayectòries quàntiques). La física de les medicions quàntiques contínues és la següent. Considerem l'us d'una ancilla, per eixemple un camp o una corrent, per a sondejar un sistema quàntic. L'interacció entre el sistema i la sonda correlaciona els dos sistemes. Típicament l'interacció només correlaciona débilmente el sistema i la ancilla (específicament, l'unitari de l'interacció només necessita ser expandit al primer o segon orde en la teoria de destorbament). Medint la ancilla i utilisant despuix la teoria de la medició quàntica, es pot determinar l'estat del sistema condicionat pels resultats de la medició. Per a obtindre una medició forta, cal acoplar moltes ancilas i després medir-les. En el llímit en el que hi ha un continu de ancilla el procés de medició es torna continu en el temps. Este procés va ser descrit primer per: Mensky; Belavkin; Barchielli, Lanz, Prosperi; Barchielli; Caves; Caves i Milburn. Més vesprada, Howard Carmichael i Howard M. Wiseman també varen fer importants contribucions en este camp.

La noció de mida dèbil s'atribuïx a sovint de forma errònea a Aharonov, Albert i Vaidman. En el seu artícul consideren un eixemple de medició dèbil (i potser falquen la frase "medició dèbil") i ho utilisen per a motivar la seua definició de valor dèbil, que varen definir allí per primera volta.

Matemàtiques

No existix una definició universalment acceptada d'una mida dèbil. Una aproximació és declarar que una mida dèbil és una mida generalisada en la que alguns o tots els operadors de Kraus són propencs a l'identitat. L'enfocament adoptat a continuació consistix en fer interactuar dos sistemes de forma dèbil i després medir un d'ells. Despuix de detallar este enfocament, ho ilustrarem en eixemples.

Interacció dèbil i medició acoplada ancilla

Considere un sistema que comença en l'estat quàntic $|\psi ⟩$ i un ancilla que comença en l'estat $|\varphi ⟩$, l'estat inicial combinat és $|\Psi ⟩=|\psi ⟩\otimes |\varphi ⟩$. Estos dos sistemes interactuen a través del Hamiltoniano $H=A\otimes B$, que genera les evolucions temporals $U(t)=\exp [-ixtH]$ (en unitats a on $\hslash =1$), $x$ és la "força d'interacció", que té unitats de temps invers. Supongam un temps d'interacció fix $t=\Delta t$ i que $\lambda =x\Delta t$ és menut, tal que ${\lambda }^3\approx 0$. Una ampliació en série de $U$ en $\lambda$ dona

$\begin{array}{cc}U& =I\otimes I-i\lambda H-\frac{1}{2}{\lambda }^2{H}^2+O({\lambda }^3)\\ & \approx I\otimes I-i\lambda A\otimes B-\frac{1}{2}{\lambda }^2{A}^2\otimes B^2.\end{array}$

Degut a que només va ser necessari expandir l'unitari a un orde baix en la teoria de destorbament, cridem a açò una interacció dèbil. Ademés, el fet de que l'unitari siga predominantment l'operador identitat, com $\lambda$ i ${\lambda }^2$ són menuts, implica que l'estat despuix de l'interacció no és radicalment diferent de l'estat inicial. L'estat combinat del sistema despuix de l'interacció és

$|{\Psi }^{\prime }⟩=(I\otimes I-i\lambda A\otimes B-\frac{1}{2}{\lambda }^2{A}^2\otimes B^2)|\Psi ⟩.$

Ara realisem una medició en el ancilla per a conéixer el sistema, açò es coneix com una medició acoplada al ancilla. Considerarem les medicions en una base $|q⟩$ (en el sistema ancilla) tal que $\sum _q|q⟩⟨q|=I$. L'acció de la mida en abdós sistemes es descriu per l'acció dels proyectores ${\Pi }_q=I\otimes |q⟩⟨q|$ en l'estat conjunt $|{\Psi }^{\prime }⟩$. De la teoria de la medició quàntica sabem que l'estat condicional despuix de la medició és

$\begin{array}{cc}|{\Psi }_q⟩& =\frac{{\Pi }_q|{\Psi }^{\prime }⟩}{\sqrt{⟨{\Psi }^{\prime }|{\Pi }_q|{\Psi }^{\prime }⟩}}\\ & =\frac{I⟨q|\varphi ⟩-i\lambda A⟨q|B|\varphi ⟩-\frac{1}{2}{\lambda }^2{A}^2⟨q|B^2|\varphi ⟩}{𝒩}|\psi ⟩\otimes |q⟩,\end{array}$

a on $𝒩=\sqrt{⟨{\Psi }^{\prime }|{\Pi }_q|{\Psi }^{\prime }⟩}$ és un factor de normalisació de la funció d'ona. Observe's que l'estat del sistema ancilla registra el resultat de la medició. L'objecte $M_q:=I⟨q|\varphi ⟩-i\lambda A⟨q|B|\varphi ⟩-\frac{1}{2}{\lambda }^2{A}^2⟨q|B^2|\varphi ⟩$ és un operador en l'espai de Hilbert del sistema i es diu operador de Kraus.

Sobre els operadors Kraus, l'estat posterior a la medició del sistema combinat és

$|{\Psi }_q⟩=\frac{M_q|\psi ⟩}{\sqrt{⟨\psi |M_q^{†}{M}_q|\psi ⟩}}\otimes |q⟩.$

Els objectes $E_q=M_q^{†}{M}_q$ són elements de lo que es diu un POVM (sigles en anglés de positive operator-valued measurement) i deuen obedir $\sum _q{E}_q=I$ per a que les provabilitats corresponents sumixen l'unitat: $\sum _q\mathrm{Pr}(q|\psi )=\sum _q⟨\psi |E_q|\psi ⟩=1$. Com el sistema ancilla ya no està correlacionado en el sistema primari, simplement està registrant el resultat de la medició, podem traçar sobre ell. Fent açò s'obté l'estat condicional del sistema primari sol:

$|{\psi }_q⟩=\frac{M_q|\psi ⟩}{\sqrt{⟨\psi |M_q^{†}{M}_q|\psi ⟩}},$

que seguim etiquetant pel resultat de la medició $q$. De fet, estes consideracions permeten derivar una trayectòria quàntica.

Eixemple d'operadors Kraus

Utilisarem l'eixemple canònic dels operadors gaussianos de Kraus donat per Barchielli, Lanz, Prosperi; i Cuevas i Milburn. Prenga $H=x\otimes p$, a on la posició i el moment en abdós sistemes tenen la relació de conmutación canònica habitual $[x,p]=i$. Prenga la funció d'ona inicial de la ancilla per a tindre una distribució gaussiana

$|\Phi ⟩=\frac{1}{(2\pi {\sigma }^2{)}^{1/4}}\int d{q}^{\prime }\exp [-q{\text{'}}^2/(4{\sigma }^2)]|q^{\prime }⟩.$

La funció d'ona de posició de la ancilla és

$\Phi (q)=⟨q|\Phi ⟩=\frac{1}{(2\pi {\sigma }^2{)}^{1/4}}\exp [-q^2/(4{\sigma }^2)].$

Els operadors de Kraus són (en comparació a la discussió anterior, establim $\lambda =1$)

$\begin{array}{cc}M(q)& =⟨q|\exp [-ix\otimes p]|\Phi ⟩\\ & =\frac{1}{(2\pi {\sigma }^2{)}^{1/4}}\exp [-(q-x{)}^2/(4{\sigma }^2)],\end{array}$

mentres que els elements POVM corresponents són

$\begin{array}{cc}E(q)& =M_q^{†}{M}_q\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp [-(q-x{)}^2/(2{\sigma }^2)],\end{array}$

que obedixen $\int dqE(q)=I$. En la lliteratura es veu a sovint una representació alternativa. Utilisant la representació espectral de l'operador de posició $x=\int x^{\prime }d{x}^{\prime }|x^{\prime }⟩⟨x^{\prime }|$, podem escriure

$\begin{array}{cc}M(q)& =\frac{1}{(2\pi {\sigma }^2{)}^{1/4}}\int d{x}^{\prime }\exp [-(q-x^{\prime }{)}^2/(4{\sigma }^2)]|x^{\prime }⟩⟨x^{\prime }|,\\ E(q)& =\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\int d{x}^{\prime }\exp [-(q-x^{\prime }{)}^2/(2{\sigma }^2)]|x^{\prime }⟩⟨x^{\prime }|.\end{array}$

Observe que $\underset{\sigma \to 0}{\lim }E(q)=|x=q⟩⟨x=q|$. És dir, en un llímit determinat estos operadors es llimiten a una mida forta de la posició; per a atres valors de $\sigma$ nos referim a la mida com a força finita; i com $\sigma \to \mathrm{\infty }$, diem que la mida és dèbil.