Matriu centrosimétrica

Patró de simetria d'una matriu centrosimétrica 5 × 5

En matemàtiques, especialment en àlgebra llineal i teoria de matrius, una matriu centrosimétrica és una matriu quadrada que és punt-simètrica respecte del seu centre. Les matrius centrosimétricas apareixen, entre atres coses, en la solució numèrica de certes equacions diferencials i en l'investigació de processos de Markov.

Definició formal

Una matriu n × n A = [A_{i, j}] és centrosimétrica quan les seues entrades satisfan:

$$A_{i,j}=A_{n-i+1,n-j+1}\text{para todo }i,j\in \{1,\dots ,n\}.$$

Alternativament, si J denota la matriu d'intercanvi n × n en 1 en l'antidiagonal i 0 en el restant: $$J_{i,j}=\{\begin{array}{cc}1,& i+j=n+1\\ 0,& i+j\ne n+1\end{array}$$ llavors una matriu A és centrosimétrica si i només si AJ = JA.

Eixemples

• Les matrius 2 × 2 centrosimétricas tenen la forma $$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& a\end{array}\right).$$
• Les matrius 3 × 3 centrosimétricas tenen la forma $$\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& d\\ c& b& a\end{array}\right).$$
• Les matrius 4 × 4 centrosimétricas tenen la forma $$\left(\begin{array}{cccc}a& b& c& d\\ e& f& g& h\\ h& g& f& e\\ d& c& b& a\end{array}\right)$$
• Les matrius de Toeplitz simètriques són centrosimétricas.