Llei esfèrica dels cosenos

Triàngul esfèric resolt per la llei dels cosenos

En trigonometria esfèrica, la llei dels cosenos (també cridada regla del coseno per als costats^[1]) és una teorema que relaciona els costats i els ànguls d'un triàngul esfèric, anàlec al teorema del coseno ordinari del pla en trigonometria.

Donada una esfera unitària, un "triàngul esfèric" en la superfície de l'esfera està definit per les circumferències màximes que conecten tres punts $o, v$ i $w$ en l'esfera (segons l'image). Si les llongituts d'estos tres costats són $a$ (de $o$ a $v), b$ (de $o$ a $w$ ) i $c$ (de $v$ a $w$ ), i l'àngul del cantó opost a $c$ és $C$ , llavors la (primera) llei esfèrica dels cosenos establix que:^[2]^[1]

\cos c = \cos a \cos b + sen a sen b \cos C

Com es tracta d'una esfera unitària, les llongituts $a, b$ i $c$ són simplement iguals als ànguls (en radianes) subtendidos per eixos costats des del centre de l'esfera. Per a una esfera no unitària, les llongituts són els ànguls subtendidos multiplicats pel radi, i la fòrmula seguix sent vàlida si $a, b$ i $c$ es reinterpreten com a ànguls subtendidos. Com a cas especial, per a $C = Plantilla:Sfrac$ , després $cos C = 0$ , i s'obté l'anàlec esfèric del teorema de Pitágoras:

\cos c = \cos a \cos b

Si s'usa la llei dels cosenos per a resoldre $c$ , la necessitat d'invertir el coseno aumenta l'error de grosseig quan $c$ és menut. En este cas, és preferible l'expressió alternativa de la fòrmula del semiverseno.^[3]

Una variació de la llei dels cosenos, la segona llei esfèrica dels cosenos,^[4] (també cridada regla del coseno per a ànguls^[1]) establix que:

\cos C = - \cos A \cos B + sen A sen B \cos c

a on $A$ i $B$ són els ànguls dels cantons oposts als costats $a$ i $b$ , respectivament. Es pot obtindre considerant un triàngul esfèric dual en el dau.

Demostracions

Primera demostració

Es denominen $o, v$ i $w$ als vectores unitaris que van del centre de l'esfera als vèrtiços del triàngul. En esta demostració s'ampraran coordenades cartesianas i les coordenades esfèriques $(r, θ, ϕ)$ , a on θ és la colatitud, és dir, l'àngul medit des del pol nort, no des del pla equatorial. Els ànguls i les distàncies no canvien si es gira el sistema de coordenades, per lo que, per senzillea, ho girem de modo que $𝐮$ estiga en pol nort, açò és, que tinga coordenades $(1, 0, 0)$ , que $𝐯$ estiga en algun lloc del meridiano zero, açò és, que tinga coordenades $(1, a, 0)$ i que les coordenades de $𝐰$ siguen $(r, θ, ϕ) = (1, b, C)$ . Les coordenades cartesianas de $𝐯$ i $𝐰$ són, respectivament, $(sen a, 0, \cos a)$ i $(sen b \cos C, sen b sen C, \cos b)$ . El valor de $\cos c$ és $\cos c = 𝐯 \cdot 𝐰 = sen a sen b \cos C + \cos a \cos b$ .

Segona demostració

Sean $o, v$ i $w$ els vectores unitaris des del centre de l'esfera fins als cantons del triàngul. Es té que $o \cdot o = 1$ , $v \cdot w = cos c$ , $o \cdot v = cos a$ i $o \cdot w = cos b$ . Els vectores $o \times v$ i $o \times w$ tenen llongituts $sen a$ i $sen b$ respectivament i l'àngul entre ells és $C$ , llavors

sen a sen b cos C = (o \times v) \cdot (o \times w) = (o \cdot o)(v \cdot w) - (o \cdot v)(o \cdot w) = cos c - cos a cos b

,

utilisant productes vectorials, productes escalaress i l'identitat de Binet-Cauchy $(p \times q) \cdot (r \times s) = (p \cdot r)(q \cdot s) - (p \cdot s)(q \cdot r)$ .

Reordenamientos

La primera i segona lleis esfèriques dels cosenos es poden reorganisar per a colocar els costats ( $a, b, c$ ) i els ànguls ( $A, B, C$ ) en costats oposts de les equacions:

\begin{matrix} \cos C & = \frac{\cos c - \cos a \cos b}{sen a sen b} \\ \cos c & = \frac{\cos C + \cos A \cos B}{sen A sen B} \end{matrix}

Vore també

Referències

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 W. Gellert, S. Gottwald, M. Hellwich, H. Kästner, and H. Küstner, The VNR Concise Encyclopedia of Mathematics, 2nd ed., ch. 12 (Van Nostrand Reinhold: New York, 1989).
↑ Romuald Ireneus 'Scibor-Marchocki, Spherical trigonometry, Elementary-Geometry Trigonometry web page (1997).
↑ R. W. Sinnott, "Virtues of the Haversine", Sky and Telescope 68 (2), 159 (1984).
↑ Reiman, István (1999). Geometria és határterületei, Szalay Könyvkiadó és Kereskedőház Kft., p. 83.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Ley esférica de los cosenos» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[VNR-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 W. Gellert, S. Gottwald, M. Hellwich, H. Kästner, and H. Küstner, The VNR Concise Encyclopedia of Mathematics, 2nd ed., ch. 12 (Van Nostrand Reinhold: New York, 1989).

[Ireneus-2] Romuald Ireneus 'Scibor-Marchocki, Spherical trigonometry, Elementary-Geometry Trigonometry web page (1997).

[3] R. W. Sinnott, "Virtues of the Haversine", Sky and Telescope 68 (2), 159 (1984).

[4] Reiman, István (1999). Geometria és határterületei, Szalay Könyvkiadó és Kereskedőház Kft., p. 83.

[1]

[2]

[3]

[4]