Fòrmula del semiverseno

Archiu:Versin.png

Sen, coseno i verseno de θ sobre la base de la circumferència goniométrica

La fòrmula del semiverseno, també coneguda com a Fòrmula de Haversine, és una important equació per a la navegació astronòmica, sobre el càlcul de la distància de círcul màxim entre dos punts d'un globo sabent el seu llongitut i la seua latitut. És un cas especial d'una fòrmula més general de trigonometria esfèrica, la llei dels semiversenos, que relaciona els costats i ànguls dels "triànguls esfèrics".

Estos noms deriven del fet que sol expressar-se en térmens de la funció semiverseno, donada per

semiversin (θ) = sen² (θ/2)

Les fòrmules també podrien estar escrites en térmens de qualsevol múltiple del semiverseno, com l'antiga funció verseno (el doble del semiverseno).

Pero històricament, el semiverseno va tindre, una llaugera ventaja en el seu us en la mar ya que el seu màxim és "1", per lo que les taules logarítmiques dels seus valors podien acabar en el valor zero. Hui en dia, la forma del semiverseno seguix sent interessant, ya que no té cap coeficient davant de la funció sen².

En l'época anterior a les calculadores digitals, l'us de taules nàutiques detallades per al semiverseno, arc-semiverseno i els seus logaritmos (per a ajudar en les multiplicacions) va aforrar als navegants calcular els quadrats dels sens, el càlcul de raïls quadrades, etc., un procés ardu i que podia agravar els menuts errors (vore també verseno). En el cas del càlcul de llongitut per les distàncies llunars de José de Mendoza, va reduir el procés de 30 passos a 7.

Fòrmula del semiverseno

Per a qualsevol parell de punts sobre una esfera:

a on

semiversin és la funció semiverseno, semiversin (θ) = sen² (θ/2) = (1 - cos (θ))/2

d és la distància entre dos punts (sobre un círcul màxim de l'esfera, vejau distància esfèrica),

R és el radi de l'esfera,

φ ₁ és la latitut del punt 1,

φ ₂ és la latitut del punt 2, i

Δ λ és la diferència de llongituts

Cal tindre en conte que l'argument a la funció semiverseno se supon que deu donar-se en radianes. En graus, semiversin (d/R) de la fòrmula es convertiria en semiversin (180 · d/π R).

Llavors es pot resoldre ya siga per mig de la simple aplicació de la taula inversa d'arc-severseno (si està disponible) o per mig de l'us de la funció arcoseno (arcsin):

___MATH_0___

a on

• h és semiversin (d/R)

En utilisar estes fòrmules, es deu anar en conte en assegurar-se de que h no excedixca 1 per un error de menge flotant (d és només real per a h de 0 a 1). h només s'aproxima a 1 en els punts antipodales (en els costats oposts de l'esfera) —en esta regió, tendixen a sorgir en la fòrmula errors numèrics relativament grans quan s'utilisa una precisió finita—. No obstant, ya que d és llavors prou gran (s'acosta a π · R, la mitat de la circumferència) un chicotet error a sovint no és una preocupació important en este cas inusual (encara que hi ha atres fòrmules de distància de círcul màxim que eviten este problema). (La fòrmula anterior s'escriu a voltes en térmens de la funció arcotangente, pero esta adolix de problemes numèrics similars en valors prop de h = 1.)

Com es descriu a continuació, en lloc de semiversenos, també es pot escriure una fòrmula similar, en térmens del coseno —a voltes cridada la llei esfèrica del coseno; a no confondre en la llei del coseno per a la geometria plana—, pero per al cas comú de distàncies chicotetes ... un chicotet error en les senyes d'entrada de la funció "arccos" du a un gran error en el resultat final. Açò fa que la fòrmula no siga apta per a un us general.

Esta fòrmula és només una aproximació quan s'aplica a la Terra, perque la Terra no és una esfera perfecta: el ràdio de la Terra R varia de 6356,78 quilómetros en els pols fins a 6378,14 quilómetros en l'equador. Hi ha chicotetes correccions, típicament de l'orde de 0,1 % (p.i. suponent la mija geomètrica R = 6367,45 quilómetros que s'utilisa en tots els llocs), a causa d'esta llaugera forma elipsoidal del planeta. Un atre método més precís, que té en conte la forma elipsoidal de la Terra, ve donada per les fòrmules de Vincenty.

Llei del semiverseno

Donada una esfera unitat, un "triàngul esfèric" en la superfície de l'esfera es definix pels tres círculs màxims que conecten tres punts o, v i w sobre l'esfera. Si els tres arcs que definixen són: a (de o a v), b (de o a w), i c (de v a w), i l'àngul del vèrtiç opost a c és C, llavors la llei del semiverseno diu:

(la llei del semiverseno)

___MATH_1___

Archiu:Law-of-haversines.svg

Triàngul esfèric resolt per la llei del semiverseno.

Com es tracta d'una esfera unitària, les llongituts a, b i c són simplement iguals als ànguls centrals (en radianes) que els definixen a partir del centre de l'esfera (per a una esfera no unitària, cada una d'estos arcs és igual al seu àngul central multiplicat pel radi de l'esfera).

Per a obtindre la fòrmula del semiverseno de la secció anterior d'esta llei, simplement es considera el cas especial a on o és el pol nort, mentres que w i v són els dos punts entre els que es vol determinar la distancia d. En este cas, a i b són π / 2 - φ _1,2 (és dir, 90° – latitut), C és l'increment de llongitut Δλ i c és la distància d / R que es vol calcular. Prenent nota de que sen (π / 2 - φ) = cos (φ), la fòrmula del semiverseno es calcula com seguix:

Per a deduir la llei del semiverseno, es partix de la llei esfèrica del coseno:

(teorema esfèrica del coseno)

___MATH_2___

Com s'ha mencionat anteriorment, esta fòrmula no és massa bona per a la resolució de c quan c és menut. En el seu lloc, se substituïx l'identitat: cos (θ) = 1 - 2 semiversin (θ), i per a obtindre la llei del semiverseno citada més dalt, també s'utilisa l'identitat de la suma:

cos(a − b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b)